第一章第一讲
一、选择题(8×5＝40分) 1．(2009·江西，5分)50名学生参加甲、乙两项体育活动，每人至少参加了一项，参加甲项的学生有30名，参加乙项的学生有25名，则仅参加了一项活动的学生人数为( )
A．50 B．45 C．40 D．34 答案：B
解析：记参加甲、乙项体育活动的学生组成的集合分别为A、B，则依题意有card(A∪B)＝50，card(A)＝30，card(B)＝25，card(A∩B)＝30＋25－50＝5，于是只参加了一项活动的学生人数是(30－5)＋(25－5)＝45，选B.
2．(2010·河南省实验中学期中试卷)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，M＝{3,4,5}，N＝{1,3,6}，集合{2,7}等于 ( )
A．M∩N B．(?UM)∩(?UN) C．(?UM)∪(?UN) D．M∪N 答案：B 解析：∵M∪N＝{1,3,4,5,6}，∴?U(M∪N)＝{2,7}，又∵?U(M∪N)＝(?UM)∩(?UN)，故选B.
3．(2009·全国Ⅰ)设集合A＝{4,5,7,9}，B＝{3,4,7,8,9}，全集U＝A∪B，则集合?U(A∩B)中的元素共有 ( )
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 答案：A
解析：U＝A∪B＝{3,4,5,7,8,9}，A∩B＝{4,7,9}，?U(A∩B)＝{3,5,8}．本题属于简单题，考查集合的交、并、补运算．
4．(2009·重庆市高三联合诊断性考试(第一次))已知全集U＝R，集合A＝{x|x>2|，B＝{x|x≤1}，则(A∪?UB)∩(B∪?UA)＝ ( )
A．? B．{x|x<1或x≥2} C．{x|1≤x<2} D．{x|1 解析：依题意得?UB＝{x|x>1}，?UA＝{x|x≤2}，A∪?UB＝{x|x>1}，B∪?UA＝{x|x≤2}，则(A∪?UB)∩(B∪?UA)＝{x|1 5．集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}．若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为 ( ) A．0 B．1 C．2 D．4 答案：D 解析：∵A∪B＝{0,1,2，a，a2}，又A∪B＝{0,1,2,4,16}，∴{a，a2}＝{4,16}，∴a＝4，故选D. 6．设全集为R，A＝{x|x＜3或x＞5}，B＝{x|－3＜x＜3}，则 ( ) A．?RA∪B＝R B．A∪?RB＝R C．?RA∪?RB＝R D．A∪B＝R 答案：B 解析：由题意易得：?RA＝{x|3≤x≤5}， ?RB＝{x|x≤－3或x≥3}， 所以A∪?RB＝R. 7．已知全集U＝R，集合A＝{y|－2≤y≤2}，集合B＝{y|y＝2x}，那么集合A∩(?UB)等于 ( ) A．{y|－2≤y≤0} B．{y|0≤y≤2} C．{y|y≥－2} D．{y|y≤0} 答案：A 解析：由题意易得：B＝(0，＋∞)，?RB＝(－∞，0]，所以A∩?RB＝{y|－2≤y≤0}． 8．设P和Q是两个集合，又集合P－Q＝{x|x∈P，且x?Q}，如果P＝{x|log2x<1}，Q＝{x||x－2|<1}，那么P－Q等于 ( ) A．{x|0 解析：P＝{x|log2x<1}＝(0,2)， Q＝{x||x－2|<1}＝(1,3)，则P－Q＝(0,1]． 二、填空题(4×5＝20分) 9．(2009·上海，2)已知集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝R，则实数a的取值范围是________． 答案：a≤1 解析：∵A＝(－∞，1]，B＝[a，＋∞)，要使A∪B＝R，只需a≤1. 10．若集合A＝{3－2x,1,3}，B＝{1，x2}，且A∪B＝A，则实数x＝________. 答案：±3或x＝－3 解析：由A∪B＝A知B?A， 则x2＝3－2x，或x2＝3， 解得x＝±3，x＝－3，x＝1(舍去)． 3－x 11．若全集U＝R，集合M＝{x|x>4}，N＝{x|>0}，则M∩(? x＋1 UN)等于________． 答案：{x|x<－2或x≥3} 解析：M＝{x|x>2或x<－2}，N＝{x|－1 12．(2009·北京崇文)对于集合N＝{1,2,3，…，n}的每一个非空子集，定义一个“交替和”如下：按照递减的次序重新排列该子集，然后从最大数开始交替地减、加后继的数．例如集合{1,2,4,6,9}的交替和是9－6＋4－2＋1＝6，集合{5}的交替和为5.当集合N的n＝2时，集合N＝{1,2}的所有非空子集为{1}，{2}，{1,2}，则它的“交替和”的总和S2＝1＋2＋(2－1)＝4，则当n＝3时，S3＝________；根据S1、S2、S3，猜想集合N＝{1,2,3，…，n}的每一个非空子集的“交替和”的总和Sn＝________. 答案：12 n2n－1 解析：集合N＝{1,2,3}的所有非空子集为{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}，则它的“交替和”的总和S3＝1＋2＋3＋(2－1)＋(3－1)＋(3－2)＋(3－2＋1)＝1＋2＋3＋1＋2＋1＋2＝12.S1＝1，S2＝4，S3＝12，猜想出Sn＝n2n－1. 三、解答题(4×10＝40分) 13．已知：集合A＝{2,4，a3－2a2－a＋7}，B＝{－4，a＋3，a2 －2a＋2，a3＋a2＋3a＋7}，若A∩B＝{2,5}，求实数a的值，并求A∪B. 解析：∵A∩B＝{2,5}，∴5∈A，A＝{2,4,5}， 由已知可得a3－2a2－a＋7＝5， ∴a3－2a2－a＋2＝0， ∴(a2－1)(a－2)＝0，∴a＝2或a＝±1. ①当a＝2时，B＝{－4,5,2,25}，A∩B＝{2,5}，与题设相符； ②当a＝1时，B＝{－4,4,1,12}，A∩B＝{4}，与题设矛盾； ③当a＝－1时，B＝{－4,2,5,4}，A∩B＝{2,4,5}，与题设矛盾． 综合①②③知：a＝2， A∪B＝{2,4,5}∪{－4,5,2,25}＝{－4,2,4,5,25}. 14．已知集合A＝{x|mx2－2x＋3＝0，m∈R}． (1)若A是空集，求m的取值范围； (2)若A中只有一个元素，求m的值； (3)若A中含有两个元素，求m的取值范围． 解析：集合A是方程mx2－2x＋3＝0在实数范围内的解集． 2