?3.33, q3? p3n i ?p i?1 3
?4.32 i
分配结果为： n1?3, n2?3, n3?4 方法二（q值方法） 9个席位的分配结果（可用按比例分配）为： n1?2,n2?3, n3?4
第10个席位：计算q值为 235233324322
q1??9204.17, q2??9240.75, q3??9331.2 2?33?44?5
q3最大，第10个席位应给c.分配结果为 n1?2,n2?3,n3?5 方法三（d’hondt方法）
此方法的分配结果为：n1?2,n2?3,n3?5
此方法的道理是：记pi和ni为各宿舍的人数和席位（i=1,2,3代表a、b、c宿舍）. pi 是ni
每席位代表的人数，取ni?1,2,?,从而得到的 pip
中选较大者，可使对所有的i,i尽量接近. nini
再考虑n?15的分配方案，类似地可得名额分配结果.现将3种方法两次分配的结果列表如下：
2． 试用微积分方法，建立录像带记数器读数n与转过时间的数学模型. 解： 设录像带记数器读数为n时，录像带转过时间为t.其模型的假设见课本.
考虑t到t??t时间内录像带缠绕在右轮盘上的长度，可得vdt?(r?wkn)2?kdn,两边积分，得 ? t
vdt?2?k?(r?wkn)dn n
2?rk?wk22n2 2vv
《数学模型》作业解答
第二章(2)（2008年10月9日）
15．速度为v的风吹在迎风面积为s的风车上，空气密度是? ，用量纲分析方法确定风车获
得的功率p与v、s、?的关系.
解: 设p、v、s、?的关系为f(p,v,s,?)?0， 其量纲表达式为: [p]=mlt 2 ?3
, [v]=lt ?1
,[s]=l,[?]=ml,这里l,m,t是基本量纲. 2?3
量纲矩阵为： 1?2?10a=? ???3?1(p)(v)
齐次线性方程组为：
2?3?(l)01??(m) 00??(t)(s)(?? ?2y1?y2?2y3?3y4?0 ?
?y1?y4?0 ??3y?y?0 12?
它的基本解为y?(?1,3,1,1) 由量纲pi定理得
??p?1v3s1?1，?p??v3s1?1 ， 其中?是无量纲常数.
16．雨滴的速度v与空气密度?、粘滞系数?和重力加速度g有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数， 用量纲分析方法给出速度v的表达式.
解：设v,?,?,g 的关系为f(v,?,?,g)=0.其量纲表达式为[v]=lmt，[?]=lmt， 0-1 -3
[?]=mlt（ltl）l=mlltt=lmt，[g]=lmt,其中l，m，t是基本量纲. -2 -1-1 -1-2 -2-2
-1 -1 0-2
量纲矩阵为
?1?3?11?(l)?0?(m)110?a=? ???10?1?2(t)??(v)(?)(?)(g) 齐次线性方程组ay=0 ，即 ? y1-3y2-y3?y4?0? ?0 ?y2?y3 ?-y-y-2y?0 34?1
的基本解为y=(-3 ,-1 ,1 ,1) 由量纲pi定理 得 *
??v?3??1?g. ?v??3 ?g
，其中?是无量纲常数. ?
16．雨滴的速度v与空气密度?、粘滞系数?、特征尺寸?和重力加速度g有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系
数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度v的表达式.
解：设v,?,?,?，g 的关系为f(v,?,?,?,g)?0.其量纲表达式为 [v]=lmt，[?]=lmt，[?]=mlt（ltl）l=mlltt=lmt，[?]=lm0t0 ，[g]=lmt 0-1 -3 -2 -1-1 -1-2 -2-2 -1 -1 0-2
其中l，m，t是基本量纲. 量纲矩阵为 ?1?0a=????1(v)
齐次线性方程组ay=0 即 ?(l)?(m)?
00?1?2?(t)?(?)(?)(?)(g) 1?3?10111
?y1?y2?3y3?y4?y5?0?
y3?y4?0 ?
??y1?y4?2y5?0? 的基本解为 11?
y?(1,?,0,0,?)?1 22
?31?y2?(0,?,?1,1,?) 22?
得到两个相互独立的无量纲量 ??1?v??1/2g?1/2 ??3/2?1?1/2 ??g??2?? 即 v? ?1
) g?1,?3/2?g1/2??1??2?1. 由?(?1,?2)?0 , 得 ?1??(?2 ?
??g?(?3/2?g1/2??1) , 其中?是未定函数.
20.考察阻尼摆的周期，即在单摆运动中考虑阻力，并设阻力与摆的速度成正比.给出周期的表达式，然后讨论物理模拟的比例模型，即怎样由模型摆的周期计算原型摆的周期. 解：设阻尼摆周期t,摆长l, 质量m,重力加速度g，阻力系数k的关系为 f(t,l,m,g,k)?0
其量纲表达式为：
[t]?l0m0t,[l]?lm0t0,[m]?l0mt0,[g]?lm0t?2,[k]?[f][v]?1?mlt?2(lt?1)?1
?l0mt?1， 其中l，m，t是基本量纲. 量纲矩阵为
?0?0a=???1(t)?(l)?(m)? 00?2?1??(t)(l)(m)(g)(k) 10011001
齐次线性方程组 y2?y4?0?? y3?y5?0 ? ?y?2y?y?0 45?1
的基本解为 11?
y?(1,?,0,,0)?1 22 ?11
?y2?(0,,?1,?,1) 22?
得到两个相互独立的无量纲量 ?tl?1/2g1/2??1 ?1/2?1?1/2 ?lmgk??2 ∴t? kl1/2l
?1, ?1??(?2), ?2? gmg1/2 ∴t? lkl1/2
(1/2) ，其中?是未定函数 . gmg
考虑物理模拟的比例模型，设g和k不变，记模型和原型摆的周期、摆长、质量分别为t,t；
l?kl?1/2l,l;m,m. 又t???() 1/2 gm?g
当无量纲量 m?l?t?l?gl?
时， 就有 ?. ??? mltgll
《数学模型》作业解答
第三章1（2008年10月14日）
1. 在3.1节存贮模型的总费用中增加购买货物本身的费用,重新确定最优订货周期和订货批
量．证明在不允许缺货模型中结果与原来的一样，而在允许缺货模型中最优订货周期和订货批量都比原来结果减少．
解：设购买单位重量货物的费用为k,其它假设及符号约定同课本． 10 对于不允许缺货模型，每天平均费用为：