2.6 正态分布
双基达标 ?限时15分钟?
1．已知随机变量X服从正态分布N(3，σ2)，则P(X＜3)＝________.
1
解析 由正态分布图象知，μ＝3为该图象的对称轴，P(X＜3)＝P(X＞3)＝2. 1
答案 2
2．若随机变量X服从标准正态分布N(0,1)，则X在区间(－3,3]上取值的概率等于________． 答案 0.997
3．设随机变量X服从正态分布N(2,9)若P(X＞c＋1)＝P(X＜c－1)，则c等于________．
解析 ∵μ＝2，由正态分布的定义知其图象关于直线x＝2对称，于是c＋1＋c－1
＝2，∴c＝2. 2答案 2
4．已知X～N(0，σ2)且P(－2≤X≤0)＝0.4，则P(X＞2)＝________. 解析 ∵P(0≤X≤2)＝P(－2≤X≤0)＝0.4， 1
∴P(X＞2)＝2(1－2×0.4)＝0.1. 答案 0.1
5．已知正态总体落在区间(0.2，＋∞)内的概率是0.5，那么相应的正态曲线f(x)在x＝________时达到最高点．
解析 由正态曲线的性质知：μ＝0.2，故x＝0.2时，正态曲线f(x)达到最高点． 答案 0.2
6．已知某种零件的尺寸X(单位：mm)服从正态分布，其正态曲线在(0,80)上是增函数，在(80，＋∞)上是减函数，且f(80)＝(1)求正态分布密度函数的解析式；
(2)估计尺寸在72 mm～88 mm之间的零件大约占总数的百分之几． 解 (1)由于正态曲线在(0,80)上是增函数，在(80，＋∞)上是减函数，
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1
. 82π
所以正态曲线关于直线x＝80对称，且在x＝80处取得最大值． 因此得μ＝80，
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＝，所以σ＝8. 2π·σ82π
故正态分布密度函数的解析式是
(2)由μ＝80，σ＝8，得
μ－σ＝80－8＝72，μ＋σ＝80＋8＝88，
所以零件尺寸X在区间(72,88)内的概率是0.682 6.因此尺寸在72 mm～88 mm间的零件大约占总数的68.26%.
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7．对于正态分布N(0,1)的概率密度函数P(x)＝P(x)为偶函数；②P(x)的最大值为
，有下列四种说法：①
1
；③P(x)在x＞0时是单调减函数，在x≤02π
时是单调增函数；④P(x)关于σ＝1对称．不正确的是________(填序号)． 解析 X～N(0,1)，∴曲线的对称轴为x＝μ＝0. 答案 ④
8．已知某次英语考试的成绩X服从正态分布N(116,64)，则10 000名考生中成绩在140分以上的人数为________． 解析 由已知得μ＝116，σ＝8.
∴P(92＜X≤140)＝P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.997 4， 1
∴P(X＞140)＝2(1－0.997 4)＝0.001 3， ∴成绩在140以上的人数为13. 答案 13
9．如图是当σ取三个不同值σ1、σ2、σ3时的三种正态曲线N(0，σ2)的图象，那么σ1、σ2、σ3的大小关系是________．
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解析 由已知得12πσ＝1
， 22π
∴σ2＝1.
由正态曲线的性质知，当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，所以0＜σ1＜σ2＝1＜σ3. 答案 0＜σ1＜σ2＝1＜σ3 ．设X～N(0,1)．
①P(－ε＜X＜0)＝P(0＜X＜ε)； ②P(X＜0)＝0.5；
③已知P(－1＜X＜1)＝0.682 6， 则P(X＜－1)＝0.158 7； ④已知P(－2＜X＜2)＝0.954 4， 则P(X＜2)＝0.977 2