复变函数期末考试复习题及答案详解

《复变函数》考试试题(一) dz1、 ?|z?z?1(z?z)n?0|__________.(n为自然数) 022.sinz?cos2z? _________.

3.函数sinz的周期为___________.

f(z)?14.设

z2?1,则f(z)的孤立奇点有__________.

?5.幂级数

?nzn的收敛半径为__________.

n?06.若函数f(z)在整个平面上处处解析,则称它是__________. lim1?z2?...?zn7.若nlim??zn??z,则n??n?______________.

zRes(ezn,0)?8.

________,其中n为自然数.

9. sinzz的孤立奇点为________ .

limf(10.若z0是f(z)z?zz)?___的极点,则0.

三.计算题(40分):

f(z)?11. 设

(z?1)(z?2),求f(z)在D?{z:0?|z|?1}内的罗朗展式.

1dz2. ?|z|?1cosz.

2??13. 设

f(z)??3??7C??zd?,其中

C?{z:|z|?3},试求f'(1?i).

w?z?14. 求复数

z?1的实部与虚部.

四. 证明题.(20分) 1. 函数

f(z)在区域D内解析. 证明:如果|f(z)|在D内为常数,那么它在

D内为常数.

2. 试证: f(z)?z(1?z)在割去线段0?Rez?1的z平面内能分出两

个单值解析分支, 并求出支割线0?Rez?1上岸取正值的那支在z??1的值.

《复变函数》考试试题(二)

二. 填空题. (20分)

1

1. 设z??i,则|z|?__,argz?__,z?__

2.

f(z)?(x2?2xy)?i(1?sin(x2?y2),?z?x?iy?C,则

zlim?1?if(z)?________.

3.

?dz|z?z0|?1(z?zn?_________.(n为自然数)

0)?4. 幂级数

?nzn的收敛半径为__________ .

n?05. 若z0是f(z)的m阶零点且m>0,则z0是f'(z)的_____零点. 6. 函数ez的周期为__________.

7. 方程2z5?z3?3z?8?0在单位圆内的零点个数为________.

8. 设f(z)?11?z2,则f(z)的孤立奇点有_________.

9. 函数f(z)?|z|的不解析点之集为________.

10. Res(z?1z4,1)?____. 三. 计算题. (40分)

1. 求函数

sin(2z3)的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数

z在正

实轴取正实值的一个解析分支,并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点

z?i处的值.

i3. 计算积分:I???i|z|dz,积分路径为(1)单位圆(|z|?1)

的右半圆.

?sinzz?24. 求

(z??dz)22.

四. 证明题. (20分)

1. 设函数f(z)在区域D内解析,试证:f(z)在D内为常数的充要条件是f(z)在D内解析.

2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.

《复变函数》考试试题(三)

二. 填空题. (20分) 1. 设f(z)?1z2?1,则f(z)的定义域为___________. 2. 函数ez的周期为_________.

2

3. 若zn?21?n?i(1?1n?n)n,则limn??zn?__________.

4. sin2z?cos2z?___________.

dz5. ?|z?z?0|?1(z?zn_________.(n为自然数)

0)?6. 幂级数

?nxn的收敛半径为__________.

n?07. f(z)?1设

z2?1,则f(z)的孤立奇点有__________.

8. 设

ez??1,则z?___. 9. 若z0是

f(z)的极点,则limz?zf(z)?___.

0z10. Res(ezn,0)?____.

三. 计算题. (40分)

11. 将函数f(z)?z2ez在圆环域0?z??内展为Laurent级数.

??2. 试求幂级数?n!nzn的收敛半径. n?n3. 算下列积分:

?ezdzCz2(z2?9),其中C是|z|?1.

4. 求z9?2z6?z2?8z?2?0在|z|<1内根的个数.

四. 证明题. (20分) 1. 函数

f(z)在区域D内解析. 证明:如果|f(z)|在D内为常

数,那么它在D内为常数.

2. 设

f(z)是一整函数,并且假定存在着一个正整数n,以及两个正数

R及M,使得当

|z|?R时

|f(z)|?M|z|n,

证明f(z)是一个至多n次的多项式或一常数。

《复变函数》考试试题(四)

3

二. 填空题. (20分) 1. 设z?11?i,则Rez?__,Imz?___.

2. 若limzzzn??,则1?z2?...?nn??limn??n?______________.

3. 函数ez

的周期为__________. 4. 函数f(z)?11?z2的幂级数展开式为__________ 5. 若函数f(z)在复平面上处处解析,则称它是___________.

6. 若函数f(z)在区域D内除去有限个极点之外处处解析,则称它是D内的_____________. 7. 设

C:|z|?1,则?C(z?1)dz?___.

8. sinzz的孤立奇点为________.

9. 若z0是

f(z)的极点,则limz?zf(z)?___.

010.

(ezReszn,0)?_____________.

三. 计算题. (40分)

1. 解方程z3?1?0.

2. 设f(z)?ezz2?1,求Res(f(z),?).

3.

?z|z|?2(9?z2)(z?i)dz. .

114. 函数f(z)?ez?1?z有哪些奇点?各属何类型(若是极点,指明它

的阶数).

四. 证明题. (20分)

1. 证明:若函数

f(z)在上半平面解析,则函数f(z)在下半平面解

析.

2. 证明z4?6z?3?0方程在1?|z|?2内仅有3个根.

《复变函数》考试试题(五)

二. 填空题.(20分) 1. 设

z?1?3i,则|z|?__,argz?__,z?__.

4

2. 当z?___时,ez为实数. 3. 设ez??1,则z?___.

4.

ez的周期为___.

5. 设

C:|z|?1,则?C(z?1)dz?___.

6. Res(ez?1z,0)?____.

7. 若函数f(z)在区域D内除去有限个极点之外处处解析,则称它是D内的_____________。 8. 函数f(z)?11?z2的幂级数展开式为_________. 9. sinzz的孤立奇点为________.

10. 设C是以为a心,r为半径的圆周,则

?1C(z?a)ndz?___.

(n为自然数) 三. 计算题. (40分)

z?11. 求复数z?1的实部与虚部.

2. 计算积分:

I??LRezdz,

在这里L表示连接原点到1?i的直线段. 2?3.

求积分:I??d?01?2acos??a2,其中0

4.

应用儒歇定理求方程z??(z),在|z|<1内根的个数,在这里

?(z)在|z|?1上解析,并且|?(z)|?1.

四. 证明题. (20分) 1. 证明函数f(z)?|z|2除去在z?0外,处处不可微.

2. 设

f(z)是一整函数,并且假定存在着一个正整数n,以及两个数R

及M,使得当

|z|?R时

|f(z)|?M|z|n,

5

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