2019年山东省济宁市兖州市中考数学一模试卷(含答案)

【思考】

如图②,如果∠ACB=∠ADB=a(a≠90°)(点C,D在AB的同侧),那么点D还在经过A,B,C三点的圆上吗?

请证明点D也不在⊙O内. 【应用】

利用【发现】和【思考】中的结论解决问题:

若四边形ABCD中,AD∥BC,∠CAD=90°,点E在边AB上,CE⊥DE.

(1)作∠ADF=∠AED,交CA的延长线于点F(如图④),求证:DF为Rt△ACD的外接圆的切线;

(2)如图⑤,点G在BC的延长线上,∠BGE=∠BAC,已知sin∠AED=,AD=1,求DG的长.

【考点】圆的综合题. 【专题】压轴题.

【分析】【思考】假设点D在⊙O内,利用圆周角定理及三角形外角的性质,可证得与条件相矛盾的结论,从而证得点D不在⊙O内;

【应用】(1)作出RT△ACD的外接圆,由发现可得点E在⊙O上,则证得∠ACD=∠FDA,又因为∠ACD+∠ADC=90°,于是有∠FDA+∠ADC=90°,即可证得DF是圆的切线;

(2)根据【发现】和【思考】可得点G在过C、A、E三点的圆O上,进而易证四边形ACGD是矩形,根据已知条件解直角三角形ACD可得AC的长,即DG的长.

【解答】解:【思考】如图1,假设点D在⊙O内,延长AD交⊙O于点E,连接BE,则∠AEB=∠ACB,∵∠ADB是△BDE的外角, ∴∠ADB>∠AEB, ∴∠ADB>∠ACB,

因此,∠ADB>∠ACB这与条件∠ACB=∠ADB矛盾, 所以点D也不在⊙O内,

所以点D即不在⊙O内,也不在⊙O外,点D在⊙O上; 【应用】

(1)如图2,取CD的中点O,则点O是RT△ACD的外心, ∵∠CAD=∠DEC=90°, ∴点E在⊙O上, ∴∠ACD=∠AED, ∵∠FDA=∠AED, ∴∠ACD=∠FDA, ∵∠DAC=90°, ∴∠ACD+∠ADC=90°, ∴∠FDA+∠ADC=90°, ∴OD⊥DF,

∴DF为Rt△ACD的外接圆的切线; (2)∵∠BGE=∠BAC,

∴点G在过C、A、E三点的圆上,如图3,

又∵过C、A、E三点的圆是RT△ACD的外接圆,即⊙O, ∴点G在⊙O上,

∵CD是直径, ∴∠DGC=90°, ∵AD∥BC, ∴∠ADG=90° ∵∠DAC=90°

∴四边形ACGD是矩形, ∴DG=AC,

∵sin∠AED=,∠ACD=∠AED, ∴sin∠ACD=, 在RT△ACD中,AD=1, ∴CD=, ∴AC=∴DG=

=

【点评】本题综合考查了圆周角定理、反证法、三角形外角的性质、点和圆的位置关系、切线的判定、矩形的判定和性质以及解直角三角形等知识,熟练掌握性质定理是解题的关键.

21.一次函数y=﹣x的图象如图所示,它与二次函数y=ax2+4ax+c的图象交于A、B两点(其中点A在点B的右侧),与这个二次函数图象的对称轴交于点C. (1)求点C的坐标.

(2)设二次函数图象的顶点为D.

①若点D与点C关于x轴对称,且△ACD的面积等于3,求此二次函数的关系式. ②若CD=AC,且△ACD的面积等于10,求此二次函数的关系式.

【考点】一次函数综合题.

【分析】(1)由抛物线的对称轴方程可知x=﹣2,将x=﹣2代入y=从而可知点C的坐标为(﹣2,);

(2)①根据关于x轴对称的点的坐标特点可知D(﹣2,

),从而得到CD=3,然后三角形的

x得:y=

=,

面积公式可求得CD边上的高,故此可知得到点A的横坐标为0,从而可知点A的坐标为(0,0),

2

0)a=.设抛物线的解析式为y=a(x+2)﹣,将(0,代入得:抛物线的解析式为y=

m)②如图所示,过点A作AE⊥DC,垂足为E.设点D的坐标为(﹣2,,则CD=|m﹣|,由△ACD的面积为10,可知

=10,从而求得:m=6.5或m=﹣3.5,故此可求得

点D与点A的坐标,最后利用待定系数法求解即可. 【解答】解:(1)∵抛物线的对称轴方程为x=﹣∴抛物线的对称轴为x=﹣

=﹣2.

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