整除问题初步

一. 整除的定义

如果整数a除以b(b≠0)，除得的商是整数且没有余数，我们就说a能被b整除，也可以说b能整除a，记作b∣a.

如果除得的结果有余数，我们就说a不能整除b，也可以说b不能整除a.

二. 整除的基本性质 ⒈尾数判断法

⑴能被2、5整除的数的特性：个位数字能被2、5整除。 ⑵能被4、25整除的数的特性：个位数字能被4、25整除。 ⑶能被8、125整除的数的特性：个位数字能被8、125整除。 ⒉数字求和法

能被3、9整除的数的特性：各位数字之和能被3、9整除。 ⒊奇偶位求差法

能被11整除的数的特性：“奇位和”与“偶位和”的差能被11整除。我们把一个数从右往左数的第1、3、5位，·····，统称为奇数位，把一个数从右往左数的第2、4、6位，·····，统称为偶数位。我们把“奇数位上的数字之和”简称为“奇数和”，“偶数位上的数字之和”简称为“偶数和”。

例题1 判断下面11个数的整除性：23487、3568、8875、6765、5880、7538、198954、6512、93625、864、407

⑴这些数中，有哪些能被8整除？哪些能被4整除？ ⑵哪些能被25整除？哪些能被125整除？ ⑶哪些能被3整除？哪些能被9整除？ ⑷哪些能被11整除？

练习1 在数列3124、312、3823、45235、5289、5588、661、7314中哪些数能被4整除，哪些能被3整除，哪些能被11整除？

例题2 173?是一个四位数，文老师说：“我在其中的方框内先后填入3个数字，得到3个四位数，依次能被9、11、8整除。”问：文老师在方框中先后填入的3个数字之和是多少？

练习2 在23?的方框内先后填入3个数字，分别组成3个三位数，使它们依次被3、4、5整除。

例题3 一天，王经理去电信营业厅为公司安装一部电话，服务人员告诉他，目前只有形如“1234?6?8”的号码可以申请。也就是说，在申请号码时，方框内的两个数字可以随意选择，而其余数字不得改动。王经理打算申请一个能同时被8和11整除的号码。请问：他申请的号码可能是多少？

练习3 七位数“22?333?”能被44整除，那么这个七位数是多少？

例题4 牛叔叔给45名工人发完工资后，将总数记在一张纸上。但是记账的那张纸破了两个洞，上面只剩下“67?8?”，其中方框表示破了的洞。牛叔叔记得每名工人的工资都一样，并且都是整数元。请问：这45名工人的总工资有可能是多少？

练习4 四位数3?3?能被36整除，那么这个四位数可能是多少？

例题5 在所有各位数字互不相同的五位数中，能被45整除的数最小是多少？最大是多少？

练习5 由1、 3、 4 、5、 7、 8这六个数字所组成的六位数中，能被11整除的最大的数是多少？课后练习

1、下面有9个自然数：48 、75 、90 、122 、650 、594 、4305 、

7836 、4100。其中能被4整除的有哪些？能被25整除的有哪些？

2、有如下5个自然数：12345、189 、72457821 、333666 、54289 。

其中能被9整除的有哪些？