推荐学习K12(浙江专用)2019高考数学二轮复习 专题二 立体几何 第3讲 空间角学案

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第3讲 空间角

[考情考向分析] 以空间几何体为载体考查空间角是高考命题的重点,热点为异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角的求解,向量法作为传统几何法的补充,为考生答题提供新的工具.

热点一 异面直线所成的角

(1)几何法:按定义作出异面直线所成的角(即找平行线),解三角形.

(2)向量法:设直线l,m的方向向量分别为a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2).设l,m的夹π?|a·b||a1a2+b1b2+c1c2|?角为θ?0≤θ≤?,则cos θ==222. 222?|a||b|?a1+b1+c1 a22+b2+c2

例1 (1)(2018·全国Ⅱ)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=3,则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为( ) 1552

A. B. C. D. 5652答案 C

解析 方法一 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1的一侧补上一个相同的长方体A′B′BA-

A1′B1′B1A1.连接B1B′,由长方体性质可知,B1B′∥AD1,所以∠DB1B′为异面直线AD1与DB1

所成的角或其补角.连接DB′,由题意,得DB′=1+?1+1?=5,B′B1=1+?3?=2,DB1=1+1+?3?=5.

2

2

2

222

2

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在△DB′B1中,由余弦定理,得

2

DB′2=B′B21+DB1-2B′B1·DB1·cos∠DB1B′,

即5=4+5-2×25cos∠DB1B′,∴cos∠DB1B′=故选C.

5

. 5

方法二 如图,以点D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系D-xyz.

由题意,得A(1,0,0),D(0,0,0),

D1(0,0,3),B1(1,1,3),

∴AD1=(-1,0,3),

DB1=(1,1,3),

→→2

∴AD1·DB1=-1×1+0×1+(3)=2, →→

|AD1|=2,|DB1|=5, ∴cos〈AD1,DB1〉=故选C.

(2)(2018·浙江省杭州二中月考)已知异面直线a,b所成的角为50°,过空间一定点P最多可作n条直线与直线a,b均成θ角,则下列判断不正确的是( ) A.当θ=65°时,n=3 C.当θ=30°时,n=2 答案 B

解析 将空间直线平移,异面直线的夹角不变,则可将异面直线a,b平移到同一平面α内,使得点P为平移后的直线a′,b′的交点,则当0°≤θ<25°时,n=0;当θ=25°时,n=1,此时该直线为直线a′,b′所成锐角的角平分线所在的直线;当25°<θ<65°时,n推荐学习K12资料

B.当n=1时,θ只能为25° D.当θ=75°时,n=4

25==. →→5|AD1|·|DB1|25

AD1·DB1

→→

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=2,此时这两条直线在平面α内的投影为直线a′,b′所成锐角的角平分线所在的直线;当θ=65°时,n=3,此时其中两条直线在平面α内的投影为直线a′,b′所成锐角的角平分线所在的直线,另一条直线为直线a′,b′所成钝角的角平分线所在的直线;当65°<θ<90°时,n=4,此时其中两条直线在平面α内的投影为直线a′,b′所成锐角的角平分线所在的直线,另外两条直线在平面α内的投影为直线a′,b′所成钝角的角平分线所在的直线;当θ=90°时,n=1,此时直线为过点P且与平面α垂直的直线.综上所述,B选项的说法错误,故选B.

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