2018试题分类汇编---------数列
一、填空题
1.（北京理4改）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理
论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为__________． 1.1227f
2.（北京理9）设?an?是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，则?an?的通项公式为__________． 2．an?6n?3
3.（全国卷I理4改）设Sn为等差数列?an?的前n项和，若3S3?S2?S4，a1?2，则a5?__________． 3.?10 4.（浙江10改）．已知a1,a2,a3,a4成等比数列，且a1?a2?a3?a4?ln(a1?a2?a3)．若a1?1，则a1,a3的大小关系是_____________，a2,a4的大小关系是_____________．
4.a1?a3,a2?a4
5.（江苏14）．已知集合A?{x|x?2n?1,n?N*}，B?{x|x?2n,n?N*}．将AB的所有元素从小到大依
次排列构成一个数列{an}．记Sn为数列{an}的前n项和，则使得Sn?12an?1成立的n的最小值为__________．
5．27
二、解答题
6.（北京文15）设{an}是等差数列，且a1?ln2,a2?a3?5ln2.
（1）求{an}的通项公式；
（2）求ea1?ea2??ean. 6．解：（1）设等差数列{an}的公差为d，∵a2?a3?5ln2，∴2a1?3d?5ln2，
又a1?ln2，∴d?ln2.∴an?a1?(n?1)d?nln2. （2）由（I）知an?nln2，∵eaan?enln2?eln2=2n，
aan∴{en}是以2为首项，2为公比的等比数列.∴e1?e2??ean?eln2?eln2?an． n2?eln2
n=2?22??2n=2n?1?2.∴ea1?ea2??ean=2n?1?2.
7.(全国卷I文17)已知数列?an?满足a1?1，nan?1?2?n?1?an，设bn?b2，b3； （1）求b1，（2）判断数列?bn?是否为等比数列，并说明理由；
（3）求?an?的通项公式．
2(n?1)7．解：（1）由条件可得an+1=an．将n=1代入得，a2=4a1，而a1=1，所以，a2=4．
n将n=2代入得，a3=3a2，所以，a3=12．从而b1=1，b2=2，b3=4． （2）{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．
a2a由条件可得n?1?n，即bn+1=2bn，又b1=1，所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．
n?1na（3）由（2）可得n?2n?1，所以an=n·2n-1．
n8.（全国卷II理17）记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1??7，S3??15．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求Sn，并求Sn的最小值． 8. 解：（1）设{an}的公差为d，由题意得3a1?3d??15.由a1??7得d=2.所以{an}的通项公式为
an?2n?9.（2）由（1）得Sn?n2?8n?(n?4)2?16，所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为?16.
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9.（全国卷III理17）等比数列?an?中，a1?1，a5?4a3．
（1）求?an?的通项公式；
（2）记Sn为?an?的前n项和．若Sm?63，求m．
9.解：（1）设{an}的公比为q，由题设得an?qn?1.由已知得q4?4q2，解得q?0（舍去），q??2或q?2.
故an?(?2)n?1或an?2n?1.
1?(?2)n（2）若an?(?2)，则Sn?.由Sm?63得(?2)m??188，此方程没有正整数解.
3若an?2n?1，则Sn?2n?1.由Sm?63得2m?64，解得m?6.综上，m?6.
n?110.（天津文18）设{an}是等差数列，其前n项和为Sn（n∈N*）；{bn}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Tn（n∈N*）．已知b1=1，b3=b2+2，b4=a3+a5，b5=a4+2a6． （1）求Sn和Tn；
（2）若Sn+（T1+T2+…+Tn）=an+4bn，求正整数n的值．
10.本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前n项和公式等基础知识.考查数列求和的基本方法和运算求解能力.（1）解：设等比数列{bn}的公比为q，由b1=1，b3=b2+2，可得q2?q?2?0.
1?2n?2n?1. 因为q?0，可得q?2，故bn?2.所以Tn?1?2设等差数列{an}的公差为d.由b4?a3?a5，可得a1?3d?4.由b5?a4?2a6，可得3a1?13d?16, 从而
n(n?1). a1?1,d?1，故an?n，所以Sn?2（2）解：由（I），知T1?T2??Tn?(21?23??2n)?n?2n?1?n?2.
n(n?1)?2n?1?n?2?n?2n?1， 由Sn?(T1?T2??Tn)?an?4bn可得
22整理得n?3n?4?0, 解得n??1（舍），或n?4.所以n的值为4.
n?111.a4+2是a3，a5的等差中项．（浙江20）已知等比数列{an}的公比q>1，且a3+a4+a5=28，数列{bn}满足b1=1，
2
数列{（bn+1?bn）an}的前n项和为2n+n．
（1）求q的值；
（2）求数列{bn}的通项公式．
11.本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力。
（1）由a4?2是a3,a5的等差中项得a3?a5?2a4?4，所以a3?a4?a5?3a4?4?28， 解得a4?8.由a3?a5?20得8(q?)?20，因为q?1，所以q?2. （2）设cn?(bn?1?bn)an，数列{cn}前n项和为Sn.由cn??由（1）可知an?2n?1n?1，所以bn?1?bn?(4n?1)?()，
1q?S1,n?1,解得cn?4n?1.
?Sn?Sn?1,n?2.12n?2故bn?bn?1?(4n?5)?(),n?2，bn?b1?(bn?bn?1)?(bn?1?bn?2)?12?(b3?b2)?(b2?b1)
111?(4n?5)?()n?2?(4n?9)?()n?3??7??3.设
222111Tn?3?7??11?()2??(4n?5)?()n?2,n?222211111Tn?3??7?()2??(4n?9)?()n?2?(4n?5)?()n?1 22222
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1111?4?()2??4?()n?2?(4n?5)?()n?1， 22221n?21n?2因此Tn?14?(4n?3)?(),n?2，又b1?1，所以bn?15?(4n?3)?().
2212.(天津理18)设{an}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Sn(n?N?)，{bn}是等差数列. 已知a1?1，
所以Tn?3?4?12a3?a2?2，a4?b3?b5，a5?b4?2b6.
（1）求{an}和{bn}的通项公式；
（2）设数列{Sn}的前n项和为Tn(n?N?)， （i）求Tn；
(Tk?bk?2)bk2n?2 （ii）证明???2(n?N?).
n?2k?1(k?1)(k?2)n12.本小题主要考查等差数列的通项公式，等比数列的通项公式及前n项和公式等基础知识.考查等差数列求
和的基本方法和运算求解能力.
（1）解：设等比数列{an}的公比为q.由a1?1,a3?a2?2,可得q2?q?2?0. 因为q?0，可得q?2，故an?2n?1.
设等差数列{bn}的公差为d，由a4?b3?b5，可得b1?3d?4.由a5?b4?2b6， 可得3b1?13d?16, 从而b1?1,d?1, 故bn?n.
所以数列{an}的通项公式为an?2n?1，数列{bn}的通项公式为bn?n.
1?2n?2n?1，故 （2）（i）由（I），有Sn?1?2nn2?(1?2n)kkTn??(2?1)??2?n??n?2n?1?n?2.
1?2k?1k?1（ii）证明：因为
(Tk+bk+2)bk(2k?1?k?2?k?2)kk?2k?12k?22k?1， ????(k?1)(k?2)(k?1)(k?2)(k?1)(k?2)k?2k?1n(Tk?bk?2)bk232224232n?22n?12n?2所以，??(?)?(?)??(?)??2.
3243n?2n?1n?2k?1(k?1)(k?2)13.（江苏20）．设{an}是首项为a1，公差为d的等差数列，{bn}是首项为b1，公比为q的等比数列．
（1）设a1?0,b1?1,q?2，若|an?bn|?b1对n?1,2,3,4均成立，求d的取值范围；
（2）若a1?b1?0,m?N*,q?(1,m2]，证明：存在d?R，使得|an?bn|?b1对n?2,3,并求d的取值范围（用b1,m,q表示）．
,m?1均成立，
20．本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．满分16分． 解：（1）由条件知：an?(n?1)d,bn?2n?1．
因为|an?bn|?b1对n=1，2，3，4均成立，
即|(n? 1)d?2n?1|?1对n=1，2，3，4均成立，
75即1?1，1?d?3，3?2d?5，7?3d?9，得?d?．
3275
因此，d的取值范围为[,]．学@科网
32
（2）由条件知：an?b1?(n?1)d,bn?b1qn?1．
若存在d，使得|an?bn|?b1（n=2，3，···，m+1）成立，
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