第八章 二元一次方程组
一、 新课程标准对本章的要求
（1）了解二元一次方程（组）及解的定义。
（2）熟练掌握用代入法和加减法解二元一次方程组的方法并能灵活运用。 （3）能正确列出二元一次方程组解应用题。
二、教学参考书对本章的要求
【本章教材分析】 1．内容结构特点
本章是在学生对一元一次方程已有认识的基础上，从一个篮球联赛中的问题入手，引导学生直接用x和y表示两个未知数，并进一步表示问题中的两个等量关系，得到两个相关的二元一次方程,由此得到二元一次方程（组）的概念，然后，研究用代入消元法和加减消元法解二元一次方程组，并用此解决实际问题。
2．本章知识结构图
3．教材的地位及作用 本章是在研究一元一次方程的基础上，以实际问题为背景对一次方程及其解法的探索，是数学建模思想在数学中的具体应用，其中的消元思想是解方程的基本思想，它对研究高等数学具有重要作用。
4．教学重点和教学难点
教学重点：以方程组为工具分析问题、解决含有多个未知数的问题 教学难点：以方程组为工具分析问题、解决含有多个未知数的问题 5．教学目标
（1）以含有多个未知数的实际问题为背景，经历“分析数量关系，设未知数，列方程组，解方程组和检验结果”的过程，体会方程组是刻画现实世界中含有多个未知数的问题的数学模型．
（2）了解二元一次方程及其相关概念，能设两个未知数并列方程组表示实际问题中的两种相关的等量关系．
（3）了解解二元方程组的基本目标（使方程组逐步转化为x=a， 的形式），体会“消元”思想，掌握解二元一次方程组的代入法和加减法，能根据二元一次方程组的具体形式选择适当的解法．
（4）通过探究实际问题，进一步认识利用二元一次方程组解决问题的基本过程（见下图），体会数学的应用价值，提高分析问题、解决问题的能力．
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6．教学建议
（1）注意在对方程已有认识的基础上发展，做好从一元到多元的转化
本章从一个篮球联赛中的胜负场数问题开始讨论，其中含有两个未知数．在此之前学生已经学习过一元一次方程的内容，用代数方法解决上述问题有两种不同方法：一种方法是设一个未知数为 ，并用含有 的式子表示另一个未知数，根据问题中的等量关系列出一元一次方程；另一种方法是直接设两个未知数 和 ，根据问题中的等量关系列出两个二元一次方程，由它们组成方程组．比较这两种方法，可以发现，第一种方法的难点在于“列”，第二种方法的难点在于“解”．由于列一元一次方程时要综合考虑问题中的各等量关系，因此有一定难度，但是学生已经熟悉一元一次方程的解法；列二元一次方程组时可以分别考虑两个等量关系，分别列出两个方程，一般说这比将这个问题列成一个一元一次方程容易，但是由于方程中出现两个未知数，因此如何解方程组成为新问题．用方程组是新方法，这种方法对于解含有多个未知数的问题很有效，并且它的优越性会随着问题中未知数个数的增加体现得更明显．二元一次方程组是方程组中最基本的类型，通过学习它可以了解一般的一次方程组，提高对多元问题的认识．本章学习中，应注意所学内容与前面有关内容的联系与区别，明确本章内容的特点，做好从“一元”向“多元”的转化．
（2）关注实际问题情景，体现数学建模思想
现实中存在大量问题涉及多个未知数，其中许多问题中的数量关系是一次（也称线性）的，这为学习“二元一次方程组”提供了大量的现实素材．在本章教科书中，实际问题情境贯穿于全章，对方程组解法的讨论也是在解决实际问题的过程中进行的，“列方程组”在本章中占有突出地位．在本章的教学和学习中，要充分注意二元一次方程组的现实背景，通过大量丰富的实际问题，反映出方程组来自实际又服务于实际，加强对方程组是解决现实问题的一种重要数学模型的认识．本章明确提出“方程组是解决含有多个未知数问题的重要数学工具”，并在多处体现方程组在解决实际问题中的工具作用，实际上这就是在渗透建立模型的思想．
设未知数、列方程组是本章中用数学模型表示和解决实际问题的关键步骤，而正确地理解问题情境，分析其中的多种等量关系是设未知数、列方程组的基础．在本章的教学和学习中，可以从多种角度思考，借助图形、表格、式子等进行分析，寻找等量关系，检验方程的合理性．教师还可以结合实际情况选择更贴近学生生活的各种问题，引导学生用二元一次方程组分析解决它们．
（3）重视解多元方程组中的消元思想 本章所涉及的数学思想方法主要包括两个：一个是由实际问题抽象为方程组这个过程中蕴涵的符号化、模型化的思想，这已在上面进行了讨论；另一个是解方程组的过程中蕴涵的消元化归思想，它在解方程组中具有指导作用．解二元一次方程组的各个步骤，都是为最终使方程组变形为x=a， 的形式而实施的，即在保持各方程的左右两边相等关系的前提之下，使“未知”逐步转化为“已知”．解多元方程组的基本策略是“消元”，即逐步减少未知数的个数，以至使方程组化归为一元方程，先解出一个未知数，然后逐步解出其他未知数．代入法和加减法都是消元解方程组的方法，只是具体消元的手法有所不同．
在本章的教学和学习中，不能仅仅着眼于具体题目的具体解题过程，而应不断加深对以上思想方法的领会，从整体上认识问题的本质．
（4）加强学习的主动性和探究性
设计本章教科书的内容和结构时，比较注意加强学习的主动性和探究性．本章内容涉及许多实际问题，多彩的问题情境容易激起学生对数学的兴趣．在本章的教学中，应
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注意引导学生从身边的问题研究起，主动收集寻找“现实的、有意义的、富有挑战性的”问题作为学习材料，并更多地进行数学活动和互相交流，在主动学习、探究学习的过程中获得知识，培养能力．
（5）注重对于基础知识的掌握，提高基本能力
本章中二元一次方程组的基本概念和消元解法是基础知识，通过列、解二元一次方程组分析解决实际问题是基本能力，它们对于今后进一步学习有重要作用．教学和学习中应注意打好基础，切实掌握基本方法，并力求能够较灵活地运用它们，逐步培养提高基本能力．
7．课时安排
本章教学时间约需9课时，具体分配如下（仅供参考）： 8．1 二元一次方程组 1课时 8．2 消元 3课时 8．3 再探实际问题和二元一次方程组 3课时 8．4三元一次方程组解法举例 1课时 复习课 1课时
三、具体知识点及详细标准
【知识点1】 二元一次方程组
（一）学习目标：
1．认识二元一次方程和二元一次方程组.
2．了解二元一次方程和二元一次方程组的解，会求二元一次方程的正整数解. （二）重点难点：
教学重点： 理解二元一次方程组的解的意义. 教学难点： 求二元一次方程的正整数解 （三）基本题型
【题型1】 （★）
1．下列各式中，是关于x、y的二元一次方程的是( )． (A)2x－y=0 (B)xy＋x－2＝0 (C)x－3y＝－1 (D) 1/x+y=2
2．已知二元一次方程x＋y＝1，下列说法不正确的是( )． (A)它有无数多组解 (B)它有无数多组整数解 (C)它只有一组非负整数解 (D)它没有正整数解
【题型2】 （★★）
1．写出二元一次方程2x＋y＝5的所有正整数解．
2.二元一次方程4x＋y＝10共有______组非负整数解．
【题型3】 （★★★）
已知满足二元一次方程5x＋y＝17的x值也是方程2x＋3(x－1)＝12的解， 求该二元一次方程的解．
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