③ T?{?,X,{2}} ④ T?{?,X,{1,2}} 答案：②
52、设X?{1,2,3},T={?,X,{1,2},{1,3},{1},{2}}是X的拓扑，A?{3},则X的子空间A的拓扑为( ) ① T?{?,{2},{1,2}} ② T?{?,{X},{1,3}} ③ T?{?,X,{3}} ④ T?{?,{3}} 答案：④ 53、设R是实数空间，Z是整数集，则R的子空间Z的拓扑为（ ）
① T?{?,Z} ② T?P(Z) ③ T?Z ④ T?{Z} 答案：② 54、设X?X1?X2??X6是拓扑空间X1,X2,,X6的积空间.P1是X到X1的投射，则P1是
（ ）① 单射 ② 连续的单射
③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案：④ 55、设X?X1?X2??X6是拓扑空间X1,X2,,X6的积空间.P2是X到X2的投射，则P2是
（ ） ① 单射 ② 连续的单射
③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案：④ 56、设X?X1?X2??X6是拓扑空间X1,X2,,X6的积空间.P3是X到X3的投射，则P3是
（ ）① 单射 ② 连续的单射
③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案：④ 57、设X?X1?X2??X6是拓扑空间X1,X2,,X6的积空间.P4是X到X4的投射，则P4是
（ ） ① 单射 ② 连续的单射
③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案：④ 58、设X?X1?X2??X6是拓扑空间X1,X2,,X6的积空间.P5是X到X5的投射，则P5是
（ ）
① 单射 ② 连续的单射
③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案：④ 59、设X?X1?X2??X6是拓扑空间X1,X2,,X6的积空间.P6是X到X6的投射，则P6是
（ ）① 单射 ② 连续的单射
③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案：④
60、设X1和X2是两个拓扑空间，X1?X2是它们的积空间,A?X1，B?X2，则有（ ） ① A?B?A?B ② A?B?A?B ③(A?B)?A?B ④ ?(A?B)??(A)??(B)答案：② 61、有理数集Q是实数空间R的一个（ ）
① 不连通子集 ② 连通子集
③ 开集 ④ 以上都不对 答案：①
62、整数集Z是实数空间R的一个（ ） ① 不连通子集 ② 连通子集 ③ 开集 ④ 以上都不对
答案：① 63、无理数集是实数空间R的一个（ ） ① 不连通子集 ② 连通子集 ③ 开集 ④ 以上都不对
答案：①
64、设Y为拓扑空间X的连通子集,Z为X的子集,若Y?Z?Y, 则Z为( ) ①不连通子集 ② 连通子集 ③ 闭集 ④ 开集 答案：②
65、设X1,X2是平庸空间，则积空间X1?X2是（ ） ① 离散空间 ② 不一定是平庸空间 ③ 平庸空间 ④ 不连通空间 答案：③
66、设X1,X2是离散空间，则积空间X1?X2是（ ） ① 离散空间 ② 不一定是离散空间 ③ 平庸空间 ④ 连通空间 答案：①
67、设X1,X2是连通空间，则积空间X1?X2是（ ） ① 离散空间 ② 不一定是连通空间 ③ 平庸空间 ④ 连通空间 答案：④
68、实数空间R中的连通子集E为( )
① 开区间 ② 闭区间 ③区间 ④ 以上都不对 答案：④
69、实数空间R中的不少于两点的连通子集E为( ) ① 开区间 ② 闭区间 ③ 区间 ④ 以上都不对 答案：③ 70、实数空间R中的连通子集E为( )
① 开区间 ② 闭区间 ③ 区间 ④ 区间或一点 答案：④ 71、下列叙述中正确的个数为（ ）
（Ⅰ）单位圆周S1是连通的； （Ⅱ）R?{0}是连通的
（Ⅲ）R2?{(0,0)}是连通的 （Ⅳ）R2和R同胚 ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：②
二、填空题（每题1分）
1、设X?{a,b},则X的平庸拓扑为 ;答案：T?{X,?} 2、设X?{a,b},则X的离散拓扑为 ;答案：T?{X,?,{a},{b}} ３、同胚的拓扑空间所共有的性质叫 ; 答案：拓扑不变性质 4、在实数空间R中，有理数集Q的导集是___________. 答案： R
5、x?d(A)当且仅当对于x的每一邻域U有 答案： U?(A?{x})?? 6、设A是有限补空间X中的一个无限子集，则d(A)= ;答案：X 7、设A是有限补空间X中的一个无限子集，则A= ;答案：X 8、设A是可数补空间X中的一个不可数子集，则d(A)= ;答案：X 9、设A是可数补空间X中的一个不可数子集，则A= ;答案：X
3X的拓扑T?{X?,,{2},{210、设X?{1,2,,,,则X的子集A?{1,2 }的内部
为 ;答案：{2}
3X的拓扑T?{X?,,{1},{211、设X?{1,2,,,则X的子集A?{1,3 }的内部
为 ;答案：{1}
X的拓扑T?{X,3}?,{1},{2,,则X的子集A?{1,2 }的内部为 12、设X?{1,2,,
答案：{1}
3X的拓扑T?{X?,,{2},{213、设X?{1,2,,,,则X的子集A?{1,3 }的内部
为 ;答案：?
14、设X?{a,b,c},则X的平庸拓扑为 ;答案：T?{X,?} 15、设X?{a,b,c},则X的离散拓扑为 答案：T?{X,?,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c}}
2则X的子集A?{1,3 }的内部16、设X?{1,2,3},X的拓扑T?{X,?,{2},{3},{,
为 ;答案：{3}
3}X的拓扑T?{X,?,{1},{3},{1}的内部17、设X?{1,2,,,则X的子集A?{1,2
为 ;答案：{1}
18、f:X?Y是拓扑空间X到Y的一个映射，若它是一个单射，并且是从X到它的象集f(X)的一个同胚，则称映射f是一个 .答案：嵌入
19、f:X?Y是拓扑空间X到Y的一个映射，如果它是一个满射，并且Y的拓扑是对于映射f而言的商拓扑，则称f是一个 ;答案：商映射
20、设X,Y是两个拓扑空间，f:X?Y是一个映射，若X中任何一个开集U的象集f(U)是Y中的一个开集，则称映射f是一个 答案：开映射
21、设X,Y是两个拓扑空间，f:X?Y是一个映射，若X中任何一个闭集U的象集f(U)是Y中的一个闭集，则称映射f是一个 答案：闭映射
22、若拓扑空间X存在两个非空的闭子集A,B,使得A?B??,A?B?X,则X是一个 ；答案：不连通空间
23、若拓扑空间X存在两个非空的开子集A,B,使得A?B??,A?B?X,则X是一个 ；答案：不连通空间
24、若拓扑空间X存在着一个既开又闭的非空真子集，则X是一个 答案：不连通空间 25、设Y是拓扑空间X的一个连通子集，Z?X满足Y?Z?Y，则Z也是X的一个 ; 答案：连通子集
26、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它在任何一个连续映射下的象所具有，则称这个性质是一个 ； 答案：在连续映射下保持不变的性质
27、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它的任何一个商空间所具有，则称这个性质是一个 ；答案：可商性质 28、若任意n?1个拓扑空间X1,X2,,Xn,都具有性质P,则积空间X1?X2??Xn也具有性质
P，则性质P称为 ;答案：有限可积性质
29、设X是一个拓扑空间，如果X中有两个非空的隔离子集A,B,使得A?B?X,则称X是一个 ；答案：不连通空间. 三．判断（每题4分，判断1分，理由3分） 1、．从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射( ) 答案:√
理由：设X是离散空间，Y是拓扑空间，f:X?Y是连续映射，因为对任意A?Y，都有
1f?（A)?X,由于X中的任何一个子集都是开集，从而f?1(A)是?中的开集，所以f:X?Y是连续的.
2、设T 1,T 2是集合X的两个拓扑，则T 1?T 2不一定是集合X的拓扑( )答案:× 理由：因为（1）T 1,T 2是X的拓扑，故X,??T1，X,??T２，从而X,??T 1?T 2；
（２）对任意的A,B?T1?T２，则有A,B?T1且A,B?T２，由于T1, T2是X的拓扑，故
A?B?T1且A?B?T2，从而A?B? T1?T２；
（３）对任意的T??T1?T2，则T??T1,T??T2，由于T1, T2是X的拓扑，从而?U?T’U?T1,
?U?T’U?T2,故?U?T’U? T1?T２；
综上有T1?T２也是X的拓扑．
3、从拓扑空间X到平庸空间Y的任何映射都是连续映射（ ）答案:√
理由：设f:X?Y是任一满足条件的映射，由于Y是平庸空间，它中的开集只有Y,?,易知它们在f下的原象分别是X,?,均为X中的开集，从而f:X?Y连续. 4、设A为离散拓扑空间X的任意子集，则d?A??? （ ）答案:√ 理由：设p为X中的任何一点，因为离散空间中每个子集都是开集， 所以{p}是X的开子集，且有?p??A??p????，即p?d?A?,从而 d(A)??.
5、设A为平庸空间X（X多于一点）的一个单点集，则d?A??? （ ）答案：× 理由：设A?{y},则对于任意x?X,x?y,x有唯一的一个邻域X，且有y?X?(A?x),从而
X?(A?x)??，因此x是A的一个凝聚点，但对于y的唯一的邻域X，有X?(A?y)??,所
以有d?A??X?A??.
6、设A为平庸空间X的任何一个多于两点的子集，则d?A??X （ ）答案：√ 理由：对于任意x?X,因为A包含多于一点，从而对于x的唯一的邻域X，且有X?(A?x)??，因此x是A的一个凝聚点，即x?d(A)，所以有d?A??X.
7、设X是一个不连通空间，则X中存在两个非空的闭子集A,B,使得A?B??,A?B?X（ ）答案：√
理由：设X是一个不连通空间，设A,B是X的两个非空的隔离子集使得A?B?X,显然