考点四 概率与统计的综合问题
[例4] 从某技术公司开发的某种产品中随机抽取200件，测量这些产品的一项质量指标值(记为Z)，由测量结果得如下频率分布直方图：
(1)公司规定：当Z≥95时，产品为正品；当Z<95时，产品为次品．公司每生产一件这种产品，若是正品，则盈利90元；若是次品，则亏损30元，记ξ为生产一件这种产品的利润，求随机变量ξ的分布列和数学期望；
(2)由频率分布直方图可以认为，Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x，σ2近似为样本方差s2(同一组中的数据用该区间的中点值作代表)．
①利用该正态分布，求P(87.8 ②某客户从该公司购买了500件这种产品，记X表示这500件产品中该项质量指标值位于区间(87.8,112.2)内的产品件数，利用①的结果，求E(X)． 附：150≈12.2. 若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ 1.(2019·武汉市调研测试)中共十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康．经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民年收入也逐年增加． 为了更好地制定2019年关于加快提升农民年收入，力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2018年50位农民的年收入(单位：千元)并制成如下频率分布直方图： (1)根据频率分布直方图，估计50位农民的年平均收入x(单位：千元)(同一组数据用该组数据区间的中点值表示)． (2)由频率分布直方图，可以认为该贫困地区农民年收入X服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为年平均收入x，σ2近似为样本方差s2，经计算得s2＝6.92.利用该正态分布，解决下列问题： (ⅰ)在2019年脱贫攻坚工作中，若使该地区约有占总农民人数的84.14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？ (ⅱ)为了调研“精准扶贫，不落一人”的落实情况，扶贫办随机走访了1 000位农民．若每个农民的年收入相互独立，问：这1 000位农民中年收入不少于12.14千元的人数最有可能是多少？ 附：参考数据与公式 6.92≈2.63，若X～N(μ，σ2)，则 ①P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.682 7； ②P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.954 5； ③P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈0.997 3. 2.二手车经销商小王对其所经营的A型号二手汽车的使用年数x与销售价格y(单位：万元/辆)进行整理，得到如下数据： 使用年数x 售价y z＝ln y 下面是z关于x的折线图： 2 20 3.00 3 12 2.48 4 8 2.08 5 6.4 1.86 6 4.4 1.48 7 3 1.10 (1)由折线图可以看出，可以用线性回归模型拟合z与x的关系，请用相关系数加以说明． (2)求y关于x的回归方程并预测某辆A型号二手车当使用年数为9年时售价约为多少？^^ (b，a小数点后保留两位有效数字) (3)基于成本的考虑，该型号二手车的售价不得低于7 118元，请根据(2)求出的回归方程预测在收购该型号二手车时车辆的使用年数不得超过多少年？ ^^^ 参考公式：回归方程y＝bx＋a中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ? ?xi－x??yi－y??xiyi－nx y ^b＝ i＝1 n i＝1 nn ＝?2 ? ?xi－x i＝1n ?x2i－nx i＝1 n ^^ ，a＝y－b x. 2 ? ?xi－x??yi－y? i＝1 r＝ n n i＝1 i＝1 . ? ?xi－x?2? ?yi－y?2 6 6 6 6 参考数据：?xiyi＝187.4，?xizi＝47.64，?x＝139, 2i i＝1 i＝1 i＝1 ? ?xi－x?2≈4.18, i＝1 ? ?yi－y i＝1 6 ?2≈13.96, ? ?zi－z?2≈1.53，ln 1.46≈0.38，ln 0.711 8≈－0.34. i＝1 6 【课后专项练习】 A组 一、选择题 1．(2019·福州市质量检测)某校学生会为了了解本校高一1 000名学生的课余时间参加传统文化活动的情况，随机抽取50名学生进行调查．将数据分组整理后，列表如下： 参加场数 参加人数占调查人数的百分比 0 8% 1 10% 2 20% 3 26% 4 18% 5 m% 6 4% 7 2% 以下四个结论中正确的是( ) A．表中m的数值为10 B．估计该校高一学生参加传统文化活动次数不高于2场的学生约为180人 C．估计该校高一学生参加传统文化活动次数不低于4场的学生约为360人 D．若采用系统抽样方法进行调查，从该校高一1 000名学生中抽取容量为50的样本，则分段间隔为25 2．(2019·全国卷Ⅱ)演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是( ) A．中位数 C．方差 3．从某地高中男生中随机抽取100名同学，将他们的体重(单位：kg)数据绘制成频率分布直方图(如图)，由直方图可知( ) B．平均数 D．极差 A．估计体重的众数为50或60 B．a＝0.03 C．学生体重在[50,60)有35人 1 D．从这100名男生中随机抽取一人，体重在[60,80)的概率为 3