（适合课程《数值方法A》和《数值方法B》）
第一章 绪 论
1. 设x>0,x的相对误差为δ,求lnx的误差.
2. 设x的相对误差为2％,求x的相对误差.
3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位
有效数字: 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限:
******nx1?1.1021,x2?0.031,x3?385.6,x4?56.430,x5?7?1.0.
***********(i)x1?x2?x4,(ii)x1x2x3,(iii)x2/x4,其中x1,x2,x3,x4均为第3题所给的数.
5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R时允许的相对误差限是多少? 6. 设Y0?28,按递推公式
Yn?Yn?1?1100783 ( n=1,2,…)
Y计算到Y100.若取783≈27.982(五位有效数字),试问计算100将有多大误差?
27. 求方程x?56x?1?0的两个根,使它至少具有四位有效数字(783≈27.982).
8.
?当N充分大时,怎样求
S?1gt2??N11?x2dx?
29. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝?
210. 设假定g是准确的,而对t的测量有±0.1秒的误差,证明当t增加时S的绝对误差增加,
而相对误差却减小.
n?111. 序列n满足递推关系n时误差有多大?这个计算过程稳定吗?
{y}y?10y?1(n=1,2,…),若y0?2?1.41(三位有效数字),计算到y1012. 计算f?(2?1),取
62?1.4,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好?
1(2?1)6,(3?22),31(3?22)3,99?702.
13. f(x)?ln(x?价公式
x?1),求f(30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等
ln(x?x?1)??ln(x?1022 计算,求对数时误差有多大?
x?1)
214. 试用消元法解方程组15. 已知三角形面积
s??x1?10x2?10x1?x2?2.10;12absinc,假定只用三位数计算,问结果是否可靠?
?0?c?2,且测量a ,b ,c 的误差分别为?a,?b,?c.证
其中c为弧度,
?ss?aa明面积的误差?s满足
???bb??cc.
第二章 插值法
1. 根据(2.2)定义的范德蒙行列式,令
1Vn(x)?Vn(x0,x1,?,xn?1,x)??11x0?xn?1xx022????x0nn?xn?1x2?xn?1xn
证明Vn(x)是n次多项式,它的根是x0,?,xn?1,且
Vn(x)?Vn?1(x0,x1,?,xn?1)(x?x0)?(x?xn?1).
2. 当x= 1 , -1 , 2 时, f(x)= 0 , -3 , 4 ,求f(x)的二次插值多项式.
3. 给出f(x)=ln x 的数值表用线性插值及二次插值计算ln 0.54 的近似值. x lnx 0.4 -0.916291 0.5 -0.693147 0.6 -0.510826 0.7 -0.357765 0.8 -0.223144
4. 给出cos x,0°≤x ≤90°的函数表,步长h =1′=(1/60)°,若函数表具有5位有效数字,研究用线性
插值求cos x 近似值时的总误差界. 5. 设6. 设
xk?x0?khxj,k=0,1,2,3,求
x0?x?x3maxl2(x).
为互异节点(j=0,1,…,n),求证:
ni) ii) 7. 设
?xj?0nj?0kjlj(x)?x(k?0,1,?,n);k
j?(x?x)lj(x)???k?1,2,?,n).k
2f(x)?C?a,b?且f(a)?f(b)?0,求证
xmaxa?x?bf(x)?18(b?a)2maxa?x?bf?(x).
x8. 在?4?x?4上给出f(x)?e的等距节点函数表,若用二次插值求e的近似值,要使截断误差不超过
10?6,问使用函数表的步长h应取多少?
n449. 若yn?2,求?yn及?yn.
10. 如果f(x)是m次多项式,记?f(x)?f(x?h)?f(x),证明f(x)的k阶差分?f(x)(0?k?m)是
m?k次多项式,并且?m?lkf(x)?0(l为正整数).
11. 证明?(fkgk)?fk?gk?gk?1?fk.
n?1n?112. 证明k?0n?1?fk?gk?fngn?f0g0??gk?1?fk.k?0
13. 证明
??j?02yj??yn??y0.
n?114. 若f(x)?a0?a1x???an?1x?anx有n个不同实根x1,x2,?,xn,证明
nn?j?1xjkf?(xj)??0,0?k?n?2;an,k?n?1.?115. 证明n阶均差有下列性质: i)
Fx,x,?,xn??cf?x0,x1,?,xn?若F(x)?cf(x),则?01;
Fx,x,?,xn??f?x0,x1,?,xn??g?x0,x1,?,xn?ii) 若F(x)?f(x)?g(x),则?01.
01774??20,21,?,28?f?2,2,?,2ff(x)?x?x?3x?1?及??. 16. ,求?17. 证明两点三次埃尔米特插值余项是
R3(x)?f(4)(?)(x?xk)(x?xk?1)/4!,??(xk,xk?1)22 并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.
18. 求一个次数不高于4次的多项式P(x),使它满足P(0)?P(?k?1)并由此求出分段三次埃尔米特插值
的误差限. 19. 试求出一个最高次数不高于4次的函数多项式P(x),以便使它能够满足以下边界条件
P(0)?P?(0)?0,P(1)?P?(1)?1,P(2)?1.
20. 设f(x)?C?a,b?,把?a,b?分为n等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数?n(x)并证明当
n??时,?n(x)在?a,b?上一致收敛到f(x).
21. 设f(x)?1/(1?x),在?5?x?5上取n?10,按等距节点求分段线性插值函数Ih(x),计算各节点间
中点处的Ih(x)与f(x)的值,并估计误差.
22. 求f(x)?x在?a,b?上的分段线性插值函数Ih(x),并估计误差.
2423. 求f(x)?x在?a,b?上的分段埃尔米特插值,并估计误差. 24. 给定数据表如下: 0.25 0.30 0.39 0.45 xj 20.53 0.7280 yj0.5000 0.5477 0.6245 0.6708 试求三次样条插值S(x)并满足条件 i) ii) 25. 若
bS?(0.25)?1.0000,S?(0.53)?0.6868; S?(0.25)?S?(0.53)?0.
f(x)?C22?a,b?,S(x)是三次样条函数,证明
bai)
??af?(x)?dx???S?(x)?dx?2??abf?(x)?S?(x)?dx?2?S?(x)?f?(x)?S?(x)?dxa2b;
ii) 若f(xi)?S(xi)(i?0,1,?,n),式中xi为插值节点,且a?x0?x1???xn?b,则
?baS?(x)?f?(x)?S?(x)?dx?S?(b)?f?(b)?S?(b)??S?(a)?f?(a)?S?(a)?.
26. 编出计算三次样条函数S(x)系数及其在插值节点中点的值的程序框图(S(x)可用(8.7)式的表达式).
第三章 函数逼近与计算
1. (a)利用区间变换推出区间为?(b)对f(x)?sinx在?部分和误差做比较. 2. 求证:
a,b?的伯恩斯坦多项式.
0,?/2?上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的马克劳林级数
(a)当m?f(x)?M时,m?Bn(f,x)?M. (b)当f(x)?x时,Bn(f,x)?x. 0,2??3. 在次数不超过6的多项式中,求f(x)?sin4x在?的最佳一致逼近多项式. a,b?4. 假设f(x)在?上连续,求f(x)的零次最佳一致逼近多项式.
5. 选取常数a,使
maxx?ax0?x?13达到极小,又问这个解是否唯一?
0,?/2?6. 求f(x)?sinx在?上的最佳一次逼近多项式,并估计误差. 0,17. 求f(x)?e在??上的最佳一次逼近多项式.
x?1,1?8. 如何选取r,使p(x)?x?r在?上与零偏差最小?r是否唯一?
20,19. 设f(x)?x?3x?1,在??上求三次最佳逼近多项式.
4310. 令
Tn(x)?Tn(2x?1),x??0,1?***,求T0(x),T1(x),T2(x),T3(x).
11. 试证?T(x)?*n是在?0,1?上带权
??1x?x2的正交多项式.
12. 在??1,1?上利用插值极小化求1f(x)?tgx的三次近似最佳逼近多项式.
?1x13. 设f(x)?e在??1,1?上的插值极小化近似最佳逼近多项式为Ln(x),若f?Ln?有界,证明对任何
n?1,存在常数?n、?n,使
?nTn?1(x)?f(x)?Ln(x)??nTn?1(x)(?1?x?1).
14. 设在??1,1?上
误差.
?(x)?1?12x?18x?2324x?315384x?41653840x5,试将?(x)降低到3次多项式并估计
15. 在??1,1?上利用幂级数项数求f(x)?sinx的3次逼近多项式,使误差不超过0.005.
16. f(x)是??a,a?上的连续奇(偶)函数,证明不管n是奇数或偶数,f(x)的最佳逼近多项式Fn(x)?Hn*也是奇(偶)函数.
??ax?b?sinx?17. 求a、b使?022dx为最小.并与1题及6题的一次逼近多项式误差作比较.
18. f(x)、g(x)?C1?a,b?,定义
(a)(f,g)??baf?(x)g?(x)dx;(b)(f,g)?x6?baf?(x)g?(x)dx?f(a)g(a); 问它们是否构成内积? 19. 用许瓦兹不等式(4.5)估计
?101?xdx1?1的上界,并用积分中值定理估计同一积分的上下界,并比较其结果.
221?120. 选择a,使下列积分取得最小值:?21. 设空间
的最佳平方逼近,并比较其结果. 22.
f(x)?xun(x)?(x?ax)dx,?100x?axdx12.
2???span?1,x?,?2?span?x,x101?,分别在?4x?C?0,1?、?2上求出一个元素,使得其为
??span?1,x?1,1?在?上,求在12,x?上的最佳平方逼近.
sin?(n?1)arccosx?1?x223. 是第二类切比雪夫多项式,证明它有递推关系
un?1?x??2xun?x??un?1?x?.
?1,1?24. 将在?上按勒让德多项式及切比雪夫多项式展开,求三次最佳平方逼近多项式并
画出误差图形,再计算均方误差.
2f(x)?sin1x?1,1?25. 把f(x)?arccosx在?上展成切比雪夫级数.
26. 用最小二乘法求一个形如y?a?bx的经验公式,使它与下列数据拟合,并求均方误差.
xi yi 219 19.0 25 32.3 31 49.0 38 73.3 44 97.8 27. 观测物体的直线运动,得出以下数据: 时间t(秒) 距离s(米) 0 0 0.9 10 1.9 30 3.0 50 3.9 80 5.0 110 求运动方程. 28. 在某化学反应里,根据实验所得分解物的浓度与时间关系如下: 时间 0 5 10 15 20 25 30 35 40 浓度 0 1.27 2.16 2.86 3.44 3.87 4.15 4.37 4.51 45 4.58 50 4.62 55 4.64 用最小二乘拟合求y?f(t).
29. 编出用正交多项式做最小二乘拟合的程序框图. 30. 编出改进FFT算法的程序框图.
31. 现给出一张记录?xk???4,3,2,1,0,1,2,3?,试用改进FFT算法求出序列?xk?的离散频谱
?Ck?(k?0,1?,,7 )第四章 数值积分与数值微分
1. 确定下列求积公式中的待定参数,使其代数精度尽量高,并指明所构造出的求积公式所具有的代数精
度:
(1)??h(2)??2h(3)??1(4)?h012hhf(x)dx?A?1f(?h)?A0f(0)?A1f(h)f(x)dx?A?1f(?h)?A0f(0)?A1f(h); ; ;
f?(h)?1f(x)dx??f(?1)?2f(x1)?3f(x2)?/3f(x)dx?h?f(0)?f(h)?/1?ah2?f?(0)?.
2. 分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分:
?(1)
10x4?x2dx,n?8?; (2)
10(1?ex?x)2dx,n?10; .
(3)?1; (4)?03. 直接验证柯特斯公式(2.4)具有5次代数精度.
xdx,n?49?6?sin?dx,n?624. 用辛普森公式求积分?0并计算误差. 5. 推导下列三种矩形求积公式:
1edx?x?(1)
(2)
babaf(x)dx?(b?a)f(a)?f(x)dx?(b?a)f(b)?a?b2)?f?(?)2f?(?)2f?(?)24(b?a)(b?a)2;
2?;
3?(3)
baf(x)dx?(b?a)f((b?a).
b6. 证明梯形公式(2.9)和辛普森公式(2.11)当n??时收敛到积分?a7. 用复化梯形公式求积分?a计舍入误差)?
bf(x)dx.
f(x)dx,问要将积分区间?a,b?分成多少等分,才能保证误差不超过?(设不
28. 用龙贝格方法计算积分??10edx??x,要求误差不超过10.
S?a?20?59. 卫星轨道是一个椭圆,椭圆周长的计算公式是
c221?()sin?d?a,这里a是椭圆的半长轴,c是地球中心与轨道中心(椭圆中心)的距离,记h为近地点距离,H为远地点距离,R?6371公里为地球半径,则a?(2R?H?h)/2,c?(H?h)/2.我国第一颗人造卫星近地点距离h?439公里,远地点距离H?2384公里,试求卫星轨道的周长. 10. 证明等式
似值.
nsin?n????323!n??545!n??试依据nsin(?/n)(n?3,6,12)的值,用外推算法求?的近