y并比较结果. 11. 用下列方法计算积分
(1) 龙贝格方法;
(2) 三点及五点高斯公式;
(3) 将积分区间分为四等分,用复化两点高斯公式.
1?3dyf(x)?1(1?x)在x?1.0,1.1和1.2处的导数值,并估计误差.f(x)的
212. 用三点公式和五点公式分别求
值由下表给出: 1.0 1.1 x f(x) 1.2 0.2066 1.3 0.1890 1.4 0.1736 0.2500 0.2268 第五章 常微分方程数值解法
1. 就初值问题y??ax?b,y(0)?0分别导出尤拉方法和改进的尤拉方法的近似解的表达式，并与准确
2解相比较。
2. 用改进的尤拉方法解初值问题
y?1ax2?bx?y??x?y,0?x?1;??y(0)?1,
取步长h=0.1计算，并与准确解y??x?1?2e相比较。 3. 用改进的尤拉方法解
?y??x2?x?y;??y(0)?0,
?x2取步长h=0.1计算y(0.5)，并与准确解y??e?x?x?1相比较。 4. 用梯形方法解初值问题
?y??y?0;??y(0)?1,
nx证明其近似解为
?2?h?yn???,2?h?? ?x并证明当h?0时，它原初值问题的准确解y?e。 5. 利用尤拉方法计算积分
??y??x?y,0?x?1;? 1）?y(0)?1, ?y??3y/(1?x),0?x?1;? 2）?y(0)?1.
x0edtt2
在点x?0.5,1,1.5,2的近似值。
6. 取h=0.2，用四阶经典的龙格－库塔方法求解下列初值问题：
7. 证明对任意参数t，下列龙格－库塔公式是二阶的：
8. 证明下列两种龙格－库塔方法是三阶的：
h?y?y?(K2?K3);n?n?12??K?f(x,y);nn?1?K?f(x?th,y?thK);2nn1???K3?f(xn?(1?t)h,yn?(1?t)hK1).
h?y?y?(K1?3K3);n?n?14??K1?f(xn,yn);??hhK?f(x?,y?K1);nn?233?22?K3?f(xn?h,yn?hK2);?331） ? h?y?y?(2K1?3K2?4K3);n?n?19??K1?f(xn,yn);??hhK?f(x?,y?K1);nn?222?33?K3?f(xn?h,yn?hK2).?442） ?
9. 分别用二阶显式亚当姆斯方法和二阶隐式亚当姆斯方法解下列初值问题：
y??1?y,y(0)?0,
?x取h?0.2,y0?0,y1?0.181,计算y(1.0)并与准确解y?1?e相比较。 10. 证明解y??f(x,y)的下列差分公式
yn?1?12(yn?yn?1)?h4??1?yn??3yn??1)(4yn是二阶的，并求出截断误差的首项。
11. 导出具有下列形式的三阶方法： 12. 将下列方程化为一阶方程组：
y???3y??2y?0,
??b1yn??1?b2yn??2).yn?1?a0yn?a1yn?1?a2yn?2?h(b0yn
1）y(0)?1,y?(0)?1;
y???0.1(1?y)y??y?0,22）y(0)?1,y?(0)?0;3）
x??(t)??xr3
yr3,y??(t)??,r?x?y,22
x(0)?0.4,x?(0)?0,y(0)?0,y?(0)?2. 13. 取h=0.25，用差分方法解边值问题
?y???y?0;??y(0)?0,y(1)?1.68.
14. 对方程y???f(x,y)可建立差分公式
yn?1?2yn?yn?1?hf(xn,yn),2试用这一公式求解初值问题
?y???1;??y(0)?y(1)?0,
验证计算解恒等于准确解
y(x)?x?x22.15. 取h=0.2用差分方法解边值问题
?(1?x2)y???xy??3y?6x?3;??y(0)?y?(0)?1,y(1)?2.
第六章 方程求根
1. 用二分法求方程x?x?1?0的正根，要求误差<0.05。
2. 用比例求根法求f(x)?1?xsinx?0在区间[0,1]内的一个根，直到近似根xk满足精度
|f(xk)|?0.005时终止计算。
323. 为求方程x?x?1?0在x0?1.5附近的一个根，设将方程改写成下列等价形式，并建立相应的迭代公式。 21）x?1?1/x，迭代公式xk?1?1?1/xk；
222）x?1?x，迭代公式
x232xk?1?31?xk2；
x?1，迭代公式xk?1?1/xk?1。 3）
试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种公式求出具有四位有效数字的近似根。
?14. 比较求e?10x?2?0的根到三位小数所需的计算量； 1）在区间[0,1]内用二分法； 2) 用迭代法xk?1?(2?exkx)/10，取初值x0?0。
5. 给定函数f(x)，设对一切x,f?(x)存在且0?m?f?(x)?M，证明对于范围内0???2/M的任
?意定数λ，迭代过程xk?1?xk??f(xk)均收敛于f(x)的根x。 6. 已知x??(x)在区间[a,b]内只有一根，而当a |??(x)|?k?1， 试问如何将x??(x)化为适于迭代的形式？ 将x?tgx化为适于迭代的形式，并求x=4.5（弧度）附近的根。 3?7. 用下列方法求f(x)?x?3x?1?0在x0?2附近的根。根的准确值x＝1.87938524…，要求计算结果准确到四位有效数字。 1) 用牛顿法； 2）用弦截法，取x0?1,x1?1.9； 3）用抛物线法，取x0?1,x1?3,x2?2。 8. 用二分法和牛顿法求x?tgx?0的最小正根。 9. 研究求a的牛顿公式 xk?1?12(xk?axk),x0?0, a且序列x1,x2,?是递减的。 ?10. 对于f(x)?0的牛顿公式xk?1?xk?f(xk)/f(xk)，证明 Rk?(xk?xk?1)/(xk?1?xk?2)2证明对一切k?1,2,?,xk? 收敛到?f??(x)/(2f?(x))，这里x为f(x)?0的根。 11. 试就下列函数讨论牛顿法的收敛性和收敛速度： ?????x,x?0;f(x)??????x,x?0; 1) ?3x2,x?0;?f(x)??23??x,x?0.?2) 3212. 应用牛顿法于方程x?a?0，导出求立方根a的迭代公式，并讨论其收敛性。 13. 应用牛顿法于方程 f(x)?1?ax2?0，导出求a的迭代公式，并用此公式求115的值。 f(x)?1?axn14. 应用牛顿法于方程f(x)?x?a?0和 k??n?0n，分别导出求a的迭代公式，并求 lim(na?xk?1)/(na?xk).215. 证明迭代公式 xk?1?xk(xk?3a)3xk?a22 3?是计算a的三阶方法。假定初值x0充分靠近根x，求 lim(a?xk?1)/(a?xk).k?? 第七章 解线性方程组的直接方法 1. 考虑方程组： ?0.4096??0.2246??0.3645?0.1784?x1?0.1234x2?0.3678x3?0.2943x4?0.4043;x1?0.3872x2?0.4015x3?0.1129x4?0.1550;x1?0.1920x2?0.3781x3?0.0643x4?0.4240;x1?0.4002x2?0.2786x3?0.3927x4??0.2557;(a) 用高斯消去法解此方程组（用四位小数计算）， (b) 用列主元消去法解上述方程组并且与(a)比较结果。 2. (a) 设A是对称阵且a11?0，经过高斯消去法一步后，A约化为 ?a11??0Ta1??A2? 证明A2是对称矩阵。 (b)用高斯消去法解对称方程组： ?0.6428x1?0.3475x2?0.8468x3?0.4127;??0.3475x1?1.8423x2?0.4759x3?1.7321;??0.8468x?0.4759x?1.2147x??0.8621.123? 4. 设A为n阶非奇异矩阵且有分解式A=LU，其中L为单位下三角阵，U为上三角阵，求证A的所有顺序主子式均不为零。 5. 由高斯消去法说明当?i?0(i?1,2,?,n?1)时，则A=LU，其中L为单位下三角阵，U 为上三角阵。 n|aii|??|aj?1j?iij|(i?1,2,?,n),6. 设A 为n阶矩阵，如果 经过高斯消去法一步后，A具有形式 称A为对角优势阵。证明：若A是对角优势阵， ?a11a1T???0A2?。 ?7. 设A是对称正定矩阵，经过高斯消去法一步后，A约化为 ?a11??0Ta1??A2?， 其中A?(aij)n,A2?(aij(2))n?1; 证明 （1）A的对角元素aii?0(i?1,2,?,n); （2）A2是对称正定矩阵； （3）an?aii,(i?1,2,?,n); （4）A的绝对值最大的元素必在对角线上； （5）2?i,j?nmax|aij(2)(n)|?max|aij|;2?i,j?n |aij|?1（6）从（2），（3），（5）推出，如果，则对所有k (k)|aij|?1. 8. 设Lk为指标为k的初等下三角阵，即 ?1???Lk????????1mk?1,k?mnk1?????????1??（除第k列对角元下元素外，和单位阵I相同） I求证当i,j?k时，也是一个指标为k的初等下三角阵，其中ij为初等排列阵。 9. 试推导矩阵A的Crout分解A=LU的计算公式，其中L为下三角阵，U为单位上三角阵。 10. 设Ux?d，其中U为三角矩阵。 (a) 就U为上及下三角矩阵推导一般的求解公式，病写出算法。 (b) 计算解三角形方程组Ux?d的乘除法次数。 (c) 设U为非奇异阵，试推导求U?1~Lk?IijLkIij的计算公式。 ?111. 证明（a）如果A是对称正定阵，则A也是正定阵； T（b）如果A是对称正定阵，则A可唯一写成A?LL,其中L是具有正对角元的下三角阵。 12. 用高斯－约当方法求A的逆阵： ?2?3A????1??111200?12?10?304?100?12?1?1??7??2??5? 0??1????00???0?,b??0?????1??0??2???0?? 13. 用追赶法解三对角方程组Ax?b，其中 ?2??1?A??0??0??0?12?10014. 用改进的平方根法解方程组 ?2??1???1?11??x1??4???????23x2?5.?????31????x3????6?? 15. 下述矩阵能否分解为LU（其中L为单位下三角阵，U为上三角阵）？若能分解，那么分解是否唯一？