10.1. 某天体沿偏心率为e的椭圆轨道运动, 如
试证
vp和
va为质点在近日点和远日点处的速率,
vpva?1?e1?e
3mcrm10.2. 如题10.2图所示, 质量为的质点在有心斥力场中运动, 式中r为质点到力
心O的距离, c为常数. 当质点离O点很远时, 质点的速度为v?, 而其轨道渐近线与O的垂直距离为?. 试求质点与O点的最近距离a.
题10.2图
10.3. 如题10.3图所示,一彗星离太阳的最近距离是地球圆轨道半径的12, 而彗星在该点
的速度为地球轨道速度的2倍, 试求彗星与地球轨道相交时的速度和交角, 及判断其轨道类型.
题10.3图
10.4. 在距月球中心为5倍月球半径处, 以速度
相切着陆. 试求发射角?.
22F??ker10.5. 氢原子中,带正电的核和带负电的电子之间的吸引力为, 设核固定不
动,原来在半径为R1的圆周上绕核运动的电子, 突然跳入较小的半径R2的圆轨道上运
v0发射一探测器, 欲使探测器与月球表面
动, 试求在这过程中原子总能量减少多少.
10.6. 一质量为m的质点在有心力场中运动, 已知它的掠面速度为h2, 某时刻从力心到
质点所在处轨道的切线的垂直距离为p. 试证此有心力的大小
mh2dp?2F?2dr 2210.7. 如质点受有心力作用做双钮线r?acos2?运动时, 试证质点所受力为
3ma4h2F??r7.
10.8. 质点在有心力作用下运动,此力的大小为质点到力心距离r的函数, 而质点的速率则
22与此距离成反比, 即v?ar, 如果a?h(h为掠面速度的2倍), 求质点的轨道方
程. 设当
r?r0时,??0.
310.9. 质量为m的质点受到一静止中心的吸引力F??2mr作用, 其中r是质点到引力中心的距离. 初始时,0,0, 0, 且初速方向与径向成45角, 试求质点的轨道.
10.10. 根据汤川(Yukawa)的核力理论, 中子与质子之间的引力具有如下形式的势能
r?1??0v?2?ke?? rV(r)?,k?0,??0r.
试求:
(1)中子与质子间的引力表达式, 并与平方反比力相比较；
?a(2)求在半径为的圆运动中质点的角动量L和能量E, 设质点的质量为m；
(3)求圆运动的周期、稳定的条件及径向微振动的周期.
10.11. 1970年4月24日,我国成功地发射了第一颗人造地球卫星, 它的近地点离地面的距
离为439km,远地点离地面为2 384km, 试求此卫星在近地点和远地点的速率v1和
v2, 以及它绕地运行的周期.
10.12. 一质点在有心力场F(r)??kr?2?Cr?3中运动,
(1) 试证它的轨道方程可以写成如下形式: r?p(1?ecos??), 当??1时, 轨道是椭圆； 当??1时, 轨道是一个进动的椭圆.
(2) 试求出后一个近日点比前一个近日点进动了多少角度.
10.13. 一质量为m的人造地球卫星在离地心距离为R的圆轨道上运行, 由于受稀薄气体
的粘性阻力FR?Av的作用(v为卫星的速率, A,?为常数), 卫星与地心距离r的变化率为drdt??c, c是一足够小的正的常数, 使得卫星运行一周损失的能量与总能量相比是小量. 设地球质量为mE, 试求A和?的表示式.
10.14. 设质量为m的质点受重力作用, 约束在半顶角为?的光滑圆锥面上运动. 试研究
质点在锥面上做水平圆运动的稳定性.
10.15. 两质点在引力作用下相互绕转, 做周期为?的圆运动, 假设在某一时刻运动突然停止, 两质点开始在引力作用下相互靠近, 试证经过时间?42后发生碰撞.
10.16. 历史上有人对火星的两个卫星是否由火星上的人发射的问题进行了有兴趣的探索,
其中有些科学家算出卫星的质量小, 但体积大, 因而认为内部是空的, 由此认为是人发射的.设火星绕太阳的运动和卫星绕火星的运动都是两体问题.太阳质量已知, 通过哪些量的测量可以计算出卫星的质量? 10.17. 以速率v1运动的质量为m1的粒子与另一质量为m2的静止粒子相碰时, 试证动能
中能够转化为热能部分的最大值正好等于碰撞前在质心坐标系中观察到的总动能.
?第十一章思考题
11.1. 为什么说刚体定点运动是刚体动力学中最核心、最困难的问题?
11.2. 刚体绕某轴以匀角速转动,问刚体对轴上不同点的角动量是否相同?对不同点的角动
量在此轴上的投影是否相同?
11.3. 已知某轴是刚体中某点O的惯量主轴, 此轴是否为轴上其他点的惯量主轴? 11.4. 试证质心的惯量主轴是轴上各点的惯量主轴.
11.5. 欧拉动力学方程采用的是动坐标系, 为什么方程中没有惯性力?
11.6. 刚体动量定理能提供3个独立方程, 能否用此定理确定刚体绕定点转动的规律? 11.7. 试用欧拉动力学方程建立对称重陀螺的运动方程, 并导出3个第一积分. 11.8. 有人说“由于重力通过重陀螺的对称轴, 它对此轴的力矩为零,所以,陀螺对此轴的角
动量守恒”, 这样分析对吗?
第十一章习题
11.1. 试求均匀立方体绕其对角线转动时的转动惯量.设立方体的边长为a, 质量为m. 11.2. 一个质量为m, 半径为R, 高为h的均匀圆柱体, 它绕过其质心、偏离其对称轴角
度为?的定轴以角速度?转动, 如题11.2图所示. 试求圆柱体的动能.
题11.2图
11.3. 若刚体对某点的主转动惯量
Ix?Iy?Iz??体绕该点转动时L,?,z,轴三者必在同一平面, 并讨论哪个量在中间.
, 意即其惯量椭球为旋转椭球, 证明此刚
11.4. 已知一刚体质心的惯量张量在某坐标系中可表示为
0 －100??150 ??2I??0 250 0（?kg.m）?－100 0 300???刚体绕质心做定点转动, 以恒角速转动, 即
物体上的总外力矩在该坐标系上的投影. 11.5. 一回转仪
?x?10rads,?y??z?0. 求施加在
I1?I2?2I3, 依惯性绕质心转动, 并做规则进动. 已知此回转仪的自转
?角速度为?1, 并知其自转轴与进动轴间的夹角为??60, 求进动角速度的大小.
11.6. 如题11.6图所示, 一对称的重陀螺绕铅垂轴Oz1近似做规则进动, 它绕Oz轴的自
转角速度?远较其进动角速度大, 已知陀螺的质量为m, 由O点到陀螺重心之距离为
zC, 对z轴的转动惯量为C,z与z1轴间的夹角为?. 试求:
(1) 陀螺进动角速度；
(2) 定点O处的水平反作用力之近似值.
题11.6图
11.7. 回转仪(题11.7图)在导航系统中有许多应用, 例如可以用来测量速度. 设一回转仪
以角速度s高速自转, 用万向轴承P固连于运载工具上. 运载工具沿垂直于回转仪自转轴方向以加速度a(可以是变化的)做加速运动, 回转仪将以加速度为轴进动. 设系统从静止开始加速,并测得总进动角?, 试证运载工具最终速度可表示为
?v?I?Is?s?mL
其中ss为回转仪的自转角动量, m为被支承部分的总质量,L为支承部分质心到轴承的距离.(此题不考虑重力作用)
题11.7图
11.8. 如题11.8图所示,在长为l的轴的一端装上质量为m的轮子, 轴的另一端吊在长为
L的绳子上, 使轮子转动起来,并且轮子在水平面上均匀进动. 已知轮子的自转角速
度为?,对过质心的对称轴的转动惯量为I. 求绳子与铅垂线的夹角?. 假设绳子和轴的质量可忽略, 且?角很小,sin???.
题11.8图
11.9. 如题11.9图所示, 一质量为m、半径为R的细圆环被一根细绳悬挂起来, 绳的一端
固定在环上, 一端固定在高速转动的支柱上, 角速度为?, 带动环也转动起来, 使环面近于水平, 环的中心在转轴附近,绳与垂线成?角.
(1) 近似找出环面与水平面的小夹角?；
(2) 近似找出环的中心绕轴运动形成的圆的半径.
题11.9图
11.10. 当汽车在水平面内沿一曲线高速公路行驶时, 当其内侧轮子的负重变为零时, 将发
生翻车. 为了避免事故, 可在车上安装一个自旋着的大飞轮, 应该在什么方向上安装? 又应当使飞轮沿什么方向转动? 并证明对于质量为m, 半径为R的均匀圆盘形飞轮,为使两车轮的负重相等,要求飞轮的角速度?和汽车的速率v之间满足如下关系
??2vmm0LmR2,
其中0是汽车和飞轮的总质量,L是汽车和飞轮的质心离地面的高度, 并设质心到内、外两侧车轮的水平距离相等.
11.11. 假定自行车及骑车人的质心高于地面2l, 总质量为
2m0. 每一个车轮的质量为m,
半径为l, 对过质心的垂直轴的转动惯量为ml. 自行车以速度v在半径为R的圆形路径上行驶. 试证明自行车倾斜的角度由下式给出,
11.12. 一质量为m半径为a的匀质圆盘在一平面上沿圆轨道滚动, 盘面与平面保持一定
倾角?, 其质心的速率v为常数. 试求此圆的半径.
11.13. 如题11.13图所示, 半径为a质量为2m的轮子以不变的角速度?1绕水平轴AB转
动, 而轴AB又以不变角速度?2绕铅垂轴CD转动, 此轴通过轮的中心, 转动方向如图所示, 假定轮的质量均匀分布在轮的边缘上, 且AO?BO?h. (1) 试求此轮相对O点的角动量, 并用图表示其变化情况； (2) 试用角动量定理和动量定理求轴承A与B所受的压力.
v2mtan??(1?)Rgm0.
题11.13图
11.14. 试用微扰法求解教材中第十一章例题4. 即从方程(11.4.5)式出发, 利用线性化方
法求出每一扰动量满足的微分方程, 研究它们的解, 确定其稳定性.