11.3. 已知某轴是刚体中某点O的惯量主轴, 此轴是否为轴上其他点的惯量主轴? 11.4. 试证质心的惯量主轴是轴上各点的惯量主轴.
11.5. 欧拉动力学方程采用的是动坐标系, 为什么方程中没有惯性力?
11.6. 刚体动量定理能提供3个独立方程, 能否用此定理确定刚体绕定点转动的规律? 11.7. 试用欧拉动力学方程建立对称重陀螺的运动方程, 并导出3个第一积分. 11.8. 有人说“由于重力通过重陀螺的对称轴, 它对此轴的力矩为零,所以,陀螺对此轴的角
动量守恒”, 这样分析对吗?
第十一章习题
11.1. 试求均匀立方体绕其对角线转动时的转动惯量.设立方体的边长为a, 质量为m. 11.2. 一个质量为m, 半径为R, 高为h的均匀圆柱体, 它绕过其质心、偏离其对称轴角
度为?的定轴以角速度?转动, 如题11.2图所示. 试求圆柱体的动能.
题11.2图
11.3. 若刚体对某点的主转动惯量
Ix?Iy?Iz??体绕该点转动时L,?,z,轴三者必在同一平面, 并讨论哪个量在中间.
, 意即其惯量椭球为旋转椭球, 证明此刚
11.4. 已知一刚体质心的惯量张量在某坐标系中可表示为
0 －100??150 ??2I??0 250 0（?kg.m）?－100 0 300???刚体绕质心做定点转动, 以恒角速转动, 即
物体上的总外力矩在该坐标系上的投影. 11.5. 一回转仪
?x?10rads,?y??z?0. 求施加在
I1?I2?2I3, 依惯性绕质心转动, 并做规则进动. 已知此回转仪的自转
?角速度为?1, 并知其自转轴与进动轴间的夹角为??60, 求进动角速度的大小.
11.6. 如题11.6图所示, 一对称的重陀螺绕铅垂轴Oz1近似做规则进动, 它绕Oz轴的自
转角速度?远较其进动角速度大, 已知陀螺的质量为m, 由O点到陀螺重心之距离为
zC, 对z轴的转动惯量为C,z与z1轴间的夹角为?. 试求:
(1) 陀螺进动角速度；
(2) 定点O处的水平反作用力之近似值.
题11.6图
11.7. 回转仪(题11.7图)在导航系统中有许多应用, 例如可以用来测量速度. 设一回转仪
以角速度s高速自转, 用万向轴承P固连于运载工具上. 运载工具沿垂直于回转仪自转轴方向以加速度a(可以是变化的)做加速运动, 回转仪将以加速度为轴进动. 设系统从静止开始加速,并测得总进动角?, 试证运载工具最终速度可表示为
?v?I?Is?s?mL
其中ss为回转仪的自转角动量, m为被支承部分的总质量,L为支承部分质心到轴承的距离.(此题不考虑重力作用)
题11.7图
11.8. 如题11.8图所示,在长为l的轴的一端装上质量为m的轮子, 轴的另一端吊在长为
L的绳子上, 使轮子转动起来,并且轮子在水平面上均匀进动. 已知轮子的自转角速
度为?,对过质心的对称轴的转动惯量为I. 求绳子与铅垂线的夹角?. 假设绳子和轴的质量可忽略, 且?角很小,sin???.
题11.8图
11.9. 如题11.9图所示, 一质量为m、半径为R的细圆环被一根细绳悬挂起来, 绳的一端
固定在环上, 一端固定在高速转动的支柱上, 角速度为?, 带动环也转动起来, 使环面近于水平, 环的中心在转轴附近,绳与垂线成?角.
(1) 近似找出环面与水平面的小夹角?；
(2) 近似找出环的中心绕轴运动形成的圆的半径.
题11.9图
11.10. 当汽车在水平面内沿一曲线高速公路行驶时, 当其内侧轮子的负重变为零时, 将发
生翻车. 为了避免事故, 可在车上安装一个自旋着的大飞轮, 应该在什么方向上安装? 又应当使飞轮沿什么方向转动? 并证明对于质量为m, 半径为R的均匀圆盘形飞轮,为使两车轮的负重相等,要求飞轮的角速度?和汽车的速率v之间满足如下关系
??2vmm0LmR2,
其中0是汽车和飞轮的总质量,L是汽车和飞轮的质心离地面的高度, 并设质心到内、外两侧车轮的水平距离相等.
11.11. 假定自行车及骑车人的质心高于地面2l, 总质量为
2m0. 每一个车轮的质量为m,
半径为l, 对过质心的垂直轴的转动惯量为ml. 自行车以速度v在半径为R的圆形路径上行驶. 试证明自行车倾斜的角度由下式给出,
11.12. 一质量为m半径为a的匀质圆盘在一平面上沿圆轨道滚动, 盘面与平面保持一定
倾角?, 其质心的速率v为常数. 试求此圆的半径.
11.13. 如题11.13图所示, 半径为a质量为2m的轮子以不变的角速度?1绕水平轴AB转
动, 而轴AB又以不变角速度?2绕铅垂轴CD转动, 此轴通过轮的中心, 转动方向如图所示, 假定轮的质量均匀分布在轮的边缘上, 且AO?BO?h. (1) 试求此轮相对O点的角动量, 并用图表示其变化情况； (2) 试用角动量定理和动量定理求轴承A与B所受的压力.
v2mtan??(1?)Rgm0.
题11.13图
11.14. 试用微扰法求解教材中第十一章例题4. 即从方程(11.4.5)式出发, 利用线性化方
法求出每一扰动量满足的微分方程, 研究它们的解, 确定其稳定性.