运筹学典型题型案例集（附lindo软件使用）
河北科技大学 安全工程专业
第一章 线性规划
1 生产计划问题（（摘自王治祯 环境应用数学309页））
某企业为了搞好综合利用，用三种废品生产三种副产品，生产情况和利润见下表，求最佳利润。 副产品 废品 甲 乙 丙 利润 A 10 6 4 5 B 5 10 5 8 C 3 2 4 2 最大日产量/件 400 300 200 解：设ABC三种产品的产量为X1X2X3 Max Z =5X1+8X2+2X3 10X1+5X2+3 X3<=400 6X1+10X2+2 X3<=400 4X1+5X2+4X3<=200 经过求解
X1=34.23，X2=8.19 X3=5.37
最大利润为274.4 2 投资问题
解：用Xij表示第i年初（i=1，2，3）给项目j（A，B，C，D）的投资金额。 第一年资金量：30万，可投项目：A、B； 故：X1A+X1B＜=30。
第二年资金量：1.2*X1A，可投项目：A、C；故：X2A+X2C＜=1.2*X1A。 第三年资金量：1.2*X2A+1.5*X1B，可投项目：A、B、D； 故：X3A+X3B+X3D＜=1.2*X2A+1.5*X1B。
其它条件：X1B＜=20；X2C＜=15；X3D＜=10。
目标：第三年底收益最大。因投资X3B在第3年底不能收回，故无收益。 则目标函数为：f(x)=0.2*（X1A+ X2A + X3A）+0.5*X1B+0.6* X2C+0.4* X3D LINGO Model如下：
max =0.2*(X1A+ X2A + X3A)+0.5*X1B+0.6* X2C+0.4* X3D;
X1A+X1B<=30;
X2A+X2C<=1.2*X1A;
X3A+X3B+X3D<=1.2*X2A+1.5*X1B;
@bnd(0,X1B,20); @bnd(0,X3B,20); @bnd(0,X2C,15); @bnd(0,X3D,10); 运行结果如下：
Global optimal solution found.
Objective value: 27.50000 Total solver iterations: 2
Variable Value Reduced Cost X1A 12.50000 0.000000 X2A 0.000000 0.6000000E-01 X3A 16.25000 0.000000 X1B 17.50000 0.000000 X2C 15.00000 -0.1000000 X3D 10.00000 -0.2000000 X3B 0.000000 0.2000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 27.50000 1.000000 2 0.000000 0.8000000 3 0.000000 0.5000000 4 0.000000 0.2000000 投资计划解释：
第一年年初 投资A项目12.5万元，投资B项目17.5万元； 第二年年初 投资C项目15万元；
第三年年初 投资A项目16.25万元，投资D项目10万元； 第三年年年末可获最大收益27.5万元。 3 志愿者排班问题
志愿者排班问题解答
解：（1）假设从早上8点开始，整点时有xi位志愿者开始工作，如下表：
时间 开始工作人数 需要人数 8：00 9：00 10：00 11：00 12：00 13：00 14：00 15：00 16：00 17：00 18：00 19：00 20：00 21：00 X8 4 X9 4 X10 6 X11 6 X12 8 X13 8 X14 6 X15 6 X16 4 X17 4 X18 6 X19 6 X20 8 X21 8
从20：00开始，工作时间由3小时调整为2小时，但接待时间到22：00为止，刚好为2小时，故此条件不构成限制。
为方便计算，假定x6=x7=0。设每个时间段需要的工作人数为zi，则：
j?i?2?xj?zi,(i?[8,21]);
i目标：所需志愿者最少。 LINGO Model如下：
min= X8 +X9+ X10+ X11+ X12+ X13+ X14+ X15+ X16+ X17+ X18+ X19+ X20+ X21;
X8>=4; X8+ X9>=4; X8+ X9+ X10>=6; X9+ X10+ X11>=6; X10+ X11+
X12>=8;
X11+ X12+ X13>=8; X12+ X13+ X14>=6; X13+ X14+ X15>=6; X14+ X15+ X16>=4; X15+ X16+ X17>=4;
X16+ X17+ X18>=6; X17+ X18+ X19>=6; X18+ X19+ X20>=8; X19+ X20+ X21>=8;
运行LINGO软件得到问题的最优解（只列出非零变量）： 最优目标函数值=32.00000
X8=4.000000 X10=4.000000 X11=2.000000 X12=2.000000 X13=4.000000 X15=2.000000 X16=2.000000 X17=4.000000 X19=2.000000 X20=6.000000
根据运行结果，最优时间表确定如下，此时最少人数为32人
时间 开始工作人数 需要人数 8：00 9：00 10：00 11：00 12：00 13：00 14：00 15：00 16：00 17：00 18：00 19：00 20：00 21：00 4 4 0 4 4 6 2 6 2 8 4 8 0 6 2 6 2 4 4 4 0 6 2 6 6 8 0 8