高中数学放缩法公式
“放缩法”证明不等式的基本策略
1、添加或舍弃一些正项（或负项）
n*例1、已知an?2?1(n?N).求证：
an1a1a2????...?n(n?N*). 23a2a3an?1ak2k?11111111证明： Q?k?1??????.k,k?1,2,...,n, k?1kkak?12?122(2?1)23.2?2?2232
?aa1a2n1111n11n1??...?n??(?2?...?n)??(1?n)??, a2a3an?12322223223
an1aan???1?2?...?n?(n?N*). 23a2a3an?12若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的值，多项式的
值变小。由于证明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证明的目的。本题在放缩时就舍去了2?2，从而是使和式得到化简.
k2、先放缩再求和（或先求和再放缩）
例2、函数f（x）=
4x1?4x，求证：f（1）+f（2）+…+f（n）>n+
12n?11?(n?N*). 2证明：由f(n)=
4n1?4n=1-
11?1? 1?4n2?2n12?21?1?12?22???1?12?2n得f（1）+f（2）+…+f（n）>1?
111111?n?(1?????n?1)?n?n?1?(n?N*).
424222此题不等式左边不易求和,此时根据不等式右边特征, 先将分子变为常数，再对分母进行放缩，从而对左边可以进行求和. 若分子, 分母如果同时存在变量时, 要设法使其中之一变为常量，分式的放缩对于分子分母均取正值的分式。如需放大，则只要把分子放大或分母缩小即可；如需缩小，则只要把分子缩小或分母放大即可。
3、逐项放大或缩小
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高中数学放缩法公式
n(n?1)(n?1)2?an?例3、设an?1?2?2?3?3?4???n(n?1)求证： 22122n?1 证明：∵ n(n?1)?n2?n n(n?1)?(n?)?
222n?1 ∴ n?n(n?1)?
2n(n?1)(n?1)21?3???(2n?1)?an? ∴ 1?2?3???n?an?， ∴ 2222n?1本题利用n?n(n?1)?，对an中每项都进行了放缩，从而得到可以求和的
2数列，达到化简的目的。
4、固定一部分项，放缩另外的项；
例4、求证：证明：Q11117???L?? 2222123n41111??? 2nn(n?1)n?1n?1111111115117???L??1??(??L??)??(?)?. 22222123n223n?1n42n4此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧，放缩拆项时，不一定从第一项开始，须根据具体题型分别对待，即不能放的太宽，也不能缩的太窄，真正做到恰倒好处。
5、函数放缩
ln2ln3ln4ln3n5n?6?????n?3n?(n?N*)3436例5.求证：2.
ln2ln3ln4ln3n111lnx1??????3n?1?(????n)lnx?x?1??1?n342333 xx,从而2解析:先构造函数有
111?11??111111?11??1????n????????????????n?n???n?32?13? ?23??456789??2因为23
??3n?15?33??99?3n?1?5n??????????????2?3n?13n???66?69??1827???
ln2ln3ln4ln3n5n5n?6?????n?3n?1??3n?3466 3所以26、裂项放缩
例6 求证:k?1?kn12?53.
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高中数学放缩法公式
1?n211n?42?1??1?2???4n?1?2n?12n?1?24解析:因为,所以k?1?kn1211?25?11?1?2????????1??2n?12n?1?33 ?357、均值不等式放缩
例
7.设Sn?1?2?2?3???n(n?1).求证
n(n?1)(n?1)2?Sn?.22
解析: 此数列的通项为ak?k?k(k?1)??k(k?1),k?1,2,?,n.
nnk?k?111?k???k?Sn??(k?)2， 22，k?1k?1n(n?1)n(n?1)n(n?1)2?Sn???.222即2
ab?a?b2注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式
k(k?1)?k?1则得
Sn??(k?1)?k?1n，若放成
(n?1)(n?3)(n?1)2?22，就放过“度”了！
②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里
n11???a1an?na1?an?a1???an?n2a12???ann
其中，n?2,3等的各式及其变式公式均可供选用。
8、二项放缩
01nn012n?(1?1)n?Cn?Cn???Cn ,2?Cn?Cn?n?1,
0122n?Cn?Cn?Cn?n2?n?22
n2?n(n?1)(n?2)
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