关于用割圆术推导圆周率的计算公式的方法

周家军

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摘要：圆周率的计算是有据可依的，它的计算公式在数学上可以推导出来。利用割圆术，可以推导出圆周率的计算公式。

关键词：割圆术；直径分割；半径分割；圆心角。 1、绪言

利用割圆术，可以推导出圆周率的计算公式。

2、用外切圆分割正多边形

假设有一个圆，半径为R，圆心为O，用n根线段（直径）将其均匀分割，如图所示。将各端点连接起来，那么它就是一个有2n个偶数边的正多边形。由此可见，此圆周是正多形的外切圆。

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假若组成正多边形的一个三角形为ΔAOB，圆心角为α ,设AB=S，正多边形的周长为L，依题意，有：

OA=OB=R

正多边形的周长L为： L=2*n*S

圆心角α和分割圆的线段（直径）n的关系为：

??360180? 2nn根据三角函数，可以列出正多边形的边长S和圆周半径R的关系式，为：

S2=R2+R2-2*R*R*cos（α）

S?R*2*(1?cos?)

2.1、圆周率以正多边形的割边数n为变量的计算形式

如果分割圆的线段（直径）n越多，圆周就被分割得越细，组成的正多边形的边就越多。那么正多边形的周长就越接近于圆周的周长，因此，依此就可推导出圆周率的计算公式，为：

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??L2R2nS?2R

2nR2*(1?cos?)?2R180?n*2*(1?cos)n2.2、圆周率以正多边形的圆心角α为变量的计算形式若以圆心角α为变量，也可得到圆周率的另一种计算公式。圆心角α值越小，分割圆的直径数n就越多，圆就被分割得越细，组成正多边形的边就越多，正多边形的周长就越接近于圆的周长。因此，依题意有：

将n=

??180?代入上式，可得：

L2R2nS?2R 1802**R*2*(1?cos?)??2R180*2*(1?cos?)??

3、用外切圆分割正多边形计算圆周率的另一种方式过O点作AB的垂线OD，如图所示：

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在ΔAOD中，依题意有： OA=R ∠AOD= AD=

根据三角函数，有如下的关系式：

?2S?=R*sin() 22?S=2*R*sin()

2S2?2AD=R*sin()

正多边形的周长L为： L=2*n*S =2*

180? * 2*R*sin()

?23.1、圆周率以正多边形的圆心角α为变量的计算形式圆周率的计算公式为：

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??L2R180?2**2*R*sin?2 ?2R360*sin??2?3.2、圆周率以正多边形的割边数n为变量的计算形式若要以线段（直径）n为变量，将a =

??L2R180代入上式，即可得 n360*sin??2?180

360*sinn2?180n90?2*n*sinn

4、用内切圆分割正多边形

在上面的圆周率推导中，是以正多边形的外切圆来进行的。也可以以正多边形的内切圆来推导。用n根线段（直径）将圆周均匀分割，在端点处作该线段的垂线，各垂线所形成的图形就是一个正多边形，圆圈就是正多边形的内切圆。如下图所示：

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