知识框架
掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质，掌握了典型题型的解法和数学思想法的应用，就有可能在高考中顺利地解决数列问题。 一、典型题的技巧解法 1、求通项公式 （1）观察法。（2）由递推公式求通项。 对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。
(1)递推式为an+1=an+d及an+1=qa（q为常数） nd，
例1、?已知{an}满足an+1=an+2，而且a1=1。求an。
例1、解?∵an+1-an=2为常数∴{an}是首项为1，公差为2的等差数列
∴an=1+2（n-1）即an=2n-1
1例2、已知{an}满足an?1?an，而a1?2，求
2an=？
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列，其首项为a2-a1=（3×1+2）-1=4
∴an+1-an=4·3n-1∵an+1=3an+2?∴3an+2-an=4·3n-1即an=2·3n-1-1 解法二：上法得{an+1-an}是公比为3的等比数列，于是有：a2-a1=4，a3-a2=4·3，a4-a3=4·32，…，an-an-1=4·3n-2，
把n-1个等式累加得：∴an=2·3n-1-1 (4)递推式为an+1=pan+qn（p，q为常数）
2bn?1?bn?(bn?bn?1)由上题的解法，
32得：∴bn?3?2()n3an?bn1n1n?3()?2() 232n(5)递推式为an?2?pan?1?qan 思路：设an?2?pan?1?qan,可以变形为：an?2??an?1??(an?1??an)， （2）递推式为an+1=an+f（n） 11例3、已知{an}中a1?，an?1?an?2，24n?1求an. 解
：由已知可知想
于是{an+1-αan}是公比为β的等比数
列，就转化为前面的类型。
an?1?an?1111?(?) (2n?1)(2n?1)22n?12n?1求an。
(6)递推式为Sn与an的关系式 系；（2）试用n表示an。 ∴Sn?1?Sn?(an?an?1)?(∴
11a? n22n?12n上式两边同乘以2n+1得2n+1an+1=2nan+2则{2nan}是公差为2的等差数列。
∴2nan=2+（n-1）·2=2n an?1?an?an?1?1令n=1，2，…，（n-1），代入得（n-1）个等式累加，即（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1） ★ 说明?只要和f（1）+f（2）+…+f（n-1）是可求的，就可以由an+1=an+f（n）以n=1，2，…，（n-1）代入，可得n-1个等式累加而求an。
(3)递推式为an+1=pan+q（p，q为常数） 例4、{an}中，a1?1，对于n＞1（n∈N）有
an?3an?1?2，求an.
12n?2?12n?1)
∴an?1?数列求和的常用方法：
解法一：由已知递推式得an+1=3an+2，
1、拆项分组法：即把每一项拆成几项，an=3an-1+2。两式相减：an+1-an=3（an-an-1）
重新组合分成几组，转化为特殊数列求和。 因此数列{an+1-an}是公比为3的等比数
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2、错项相减法：适用于差比数列（如果
?an?等差，?bn?等比，那
么?anbn?叫做差比数列） 即把每一项都乘以?bn?的公比q，向后错一项，
再对应同次项相减，转化为等比数列求和。
3、裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。
适用于数列??1?a?a?和
?nn?1????1????a?a?（其中?an?等差） nn?1?? 可裂项为：
1111a?(?)，
n?an?1danan?11a?1(an?1?an)
n?an?1d等差数列前n项和的最值问题： 1、若等差数列?an?的首项a1?0，公差d?0，则前n项和Sn有最大值。 （ⅰ）若已知通项an，则Sn最大
???an?0； ?an?1?0（ⅱ）若已知S2n?pn?qn，则当n取最
靠近?q2p的非零自然数时Sn最大；
2、若等差数列?an?的首项a1?0，公差
d?0，则前n项和Sn有最小值 精心整理
（ⅰ）若已知通项an，则Sn最小
???an?0；?an?1?0 （ⅱ）若已知Sn?pn2?qn，则当n取最靠近?q2p的非零自然数时Sn最小； 数列通项的求法：
⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。 ⑵已知Sn（即a1?a2??an?f(n)）求an，用作差法：an??SS1,(n?1)2)。 n?Sn?1,(n?已知a1a2an?f(n)求an，用作商法：a??f(1),(n??f(n)n?1)??f(n?1),(n?2)。 ⑶已知条件中既有Sn还有an，有时先求Sn，再求an；有时也可直接求an。 ⑷若an?1?an?f(n)求an用累加法：
an?(an?an?1)?(an?1?an?2)??(a2?a1)
?a1(n?2)。
⑸已知an?1a?f(n)求an，用累乘法：
naana?1n?a?n??a2n?1an?2a?a1(n?2)。 1⑹已知递推关系求an，用构造法（构造等差、等比数列）。
特别地，（1）形如an?kan?1?b、
an?kan?1?bn（k,b为常数）的递推数
列都可以用待定系数法转化为公比为
k的等比数列后，再求an；形如
ann?kan?1?k的递推数列都可以除以
kn得到一个等差数列后，再求an。
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（2）形如an?an?1的递推数列
kan?1?b⑥
2(n?1?n)?2?1??2(n?2都可以用倒数法求通项。
（3）形如akn?1?an的递推数列
都可以用对数法求通项。 （7）（理科）数学归纳法。 （8）当遇到an?1?an?1n?1?d或aa?q时，n?1分奇数项偶数项讨论，结果可能是分
段形式。
数列求和的常用方法：
（1）公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式。
（2）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和。
（3）倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n和公式的推导方法）.
（4）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前n和公式的推导方法）. （5）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有： ①n(n1?1)?1n?n1?1；②n(n1?k)?k(n?1n?k)； 11③11111k2?k2?1?2(k?1?k?1)，111111k?k?1?(k?1)k?1k2?(k?1)k?k?1?k； ④
11n(n?1)(n?2)?2[1n(n?1)?1(n?1)(n?2)]；
⑤n(n?1)!?11n!?(n?1)!；
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n?n?1nn?n?1
二、解题方法：
求数列通项公式的常用方法：
1、公式法 2、由Sn求an
3、求差（商）法 解：n?1时，12a1?2?1?5，∴a1?14
［练习］ 4、叠乘法 解：
a2a·a3……an?1·23……n?1n，∴ana?11a2an?121n 5、等差型递推公式 ［练习］ 6、等比型递推公式 ［练习］ 7、倒数法
2．数列求和问题的方法 （1）、应用公式法
等差、等比数列可直接利用等差、等比数列的前n项和公式求和，另外记住以下公式对求和来说是有益的。
1＋3＋5＋……＋(2n-1)=n2
【例8】求数列1，（3+5），（7+9+10），（13+15+17+19），…前n项的和。 解?本题实际是求各奇数的和，在数列的前n
项中，共有1+2+…+n=12n(n?1)个奇数，
∴最后一个奇数为：1+[12n(n+1)-1]×
2=n2+n-1
因此所求数列的前n项的和为 （2）、分解转化法
对通项进行分解、组合,转化为等差数列或等比数列求和。 【例9】求和S=1·（n2-1）+2·（n2-22）+3·（n2-32）+…+n（n2-n2）