2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法——二分法
[学习目标] 1.了解函数变号零点与不变号零点的概念，会判断函数变号零点的存在.2.会用二分法求函数变号零点的近似值，并能对二分法的过程作出程序化的步骤.
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对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近为零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.由函数的零点与相应的方程根的关系，可用二分法来求方程的近似解. 2.用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤
(1)在D内取一个闭区间[a0，b0]?D，使f(a0)与f(b0)异号，即f(a0)·f(b0)<0.零点位于区间[a0，b0]中.
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(2)取区间[a0，b0]的中点(如图)，则此中点对应的坐标为x0＝a0＋(b0－a0)＝(a0＋b0).
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计算f(x0)和f(a0)，并判断：
①如果f(x0)＝0，则x0就是f(x)的零点，计算终止；
②如果f(a0)·f(x0)<0，则零点位于区间[a0，x0]中，令a1＝a0，b1＝x0； ③如果f(a0)·f(x0)>0，则零点位于区间[x0，b0]中，令a1＝x0，b1＝b0.
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(3)取区间[a1，b1]的中点，则此中点对应的坐标为x1＝a1＋(b1－a1)＝(a1＋b1).
22计算f(x1)和f(a1)，并判断：
①如果f(x1)＝0，则x1就是f(x)的零点，计算终止；
②如果f(a1)·f(x1)<0，则零点位于区间[a1，x1]上，令a2＝a1，b2＝x1； ③如果f(a1)·f(x1)>0，则零点位于区间[x1，b1]上，令a2＝x1，b2＝b1.
(4)继续实施上述步骤，直到区间[an，bn]，函数的零点总位于区间[an，bn]上，当an和bn按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数y＝f(x)的近似零点，
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计算终止.这时函数y＝f(x)的近似零点满足给定的精确度.
要点一 函数零点类型的判断 例1 判断下列函数是否有变号零点； (1)y＝x－5x－14；(2)y＝x＋x＋1； (3)y＝4x＋4x＋1.
解 (1)∵y＝x－5x－14＝(x＋2)(x－7)， ∴有两个零点－2,7.
由二次函数的图象知，－2,7都是变号零点. 1232
(2)∵y＝x＋x＋1＝(x＋)＋＞0恒成立，
24∴此函数没有零点.
(3)∵y＝4x＋4x＋1＝(2x＋1)， 1
∴有一个零点－，但它是不变号零点.
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规律方法 函数的零点分为变号零点和不变号零点，若函数零点左右两侧函数值符号相反，则此零点为函数的变号零点；从图象来看，若图象穿过x轴，则此零点为变号零点，否则为不变号零点.二分法只能求函数的变号零点.
跟踪演练1 已知函数y＝f(x)的图象如图所示.下列结论正确的序号是( )
①该函数有三个变号零点； ②所有零点之和为0；
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③当x＜－时，恰有一个零点；
2④当0＜x＜1时，恰有一个零点. A.①② C.②③ 答案 D
解析 函数y＝f(x)的三个变号零点分别是－1,0,1.所以①②③正确. 要点二 二分法求函数零点近似解
例2 求函数f(x)＝x＋2x－3x－6的一个为正数的零点(精确到0.1). 解 由于f(1)＝－6＜0，f(2)＝4＞0，可取区间[1,2]作为计算的初始区间. 用二分法逐次计算，列表如下：
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B.①②④ D.①②③
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端点或中点横坐标 计算端点或中点的函数值 定区间 [1,2] [1.5,2] [1.5,1.75] [1.625， 1.75] [1.687 5， 1.75] [1.718 75， 1.75] [1.718 75， 1.734 375] a0＝1，b0＝2 x1＝x2＝1＋2＝1.5 2f(1)＝－6，f(2)＝4 f(x1)＝－2.625＜0 f(x2)≈0.234 4＞0 1.5＋2＝1.75 21.5＋1.75 2x3＝f(x3)≈－1.302 7＜0 ＝1.625 x4＝1.625＋1.75 2f(x4)≈－0.561 8＜0 ＝1.687 5 x5＝1.687 5＋1.75 2f(x5)≈－0.171＜0 ＝1.718 75 x6＝1.718 75＋1.75 2f(x6)≈0.03＞0 ＝1.734 375 至此可以看出，区间[1.718 75,1.734 375]内的所有值精确到0.1都为1.7，所以1.7就是所求函数零点精确到0.1的实数解，即为函数的一个正数零点.
规律方法 1.在选择区间[a，b]时要使其长度尽可能小，以减少运算次数.在没有特别要求的情况下，为了便于计算和操作，可以尝试取相邻的两个整数作为初始值区间的端点. 2.切记最后分得的区间两端点共同的近似值才是零点的近似值，若无共同近似值则需继续运算，直到符合要求为止.
跟踪演练2 求函数f(x)＝x－x－1在区间[1,1.5]内的一个零点(精确到0.1). 解 由于f(1)＝1－1－1＝－1＜0，
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f(1.5)＝3.375－1.5－1＝0.875＞0，
∴f(x)在区间[1,1.5]内存在零点， 取区间[1,1.5]作为计算的初始区间， 用二分法逐次计算列表如下：
端点或中点横坐标 计算端点或中点的函数值 定区间 [1,1.5] a0＝1，b0＝1.5 x0＝1＋1.5＝1.25 2f(1)＝－1， f(1.5)＝0.875 f(x0)＜0 [1.25,1.5] 3