高中数学竞赛校本教材
§3集 合
集合的划分反映了集合与子集之间的关系，这既是一类数学问题，也是数学中的解题策略——分类思想的基础，在近几年来的数学竞赛中经常出现，日益受到重视，本讲主要介绍有关的概念、结论以及处理集合、子集与划分问题的方法。 1． 集合的概念
集合是一个不定义的概念，集合中的元素有三个特征：
（1） 确定性 设A是一个给定的集合，a是某一具体对象，则a或者是A的元素，或
者不是A的元素，两者必居其一，即a∈A与a?A仅有一种情况成立。
（2） 互异性 一个给定的集合中的元素是指互不相同的对象,即同一个集合中不应出现
同一个元素。 （3） 无序性 2． 集合的表示方法
主要有列举法、描述法、区间法、语言叙述法。常用数集如：N,Z,Q,R应熟记。 3． 实数的子集与数轴上的点集之间的互相转换，有序实数对的集合与平面上的点集可以互相转换。对于方程、不等式的解集，要注意它们的几何意义。 4． 子集、真子集及相等集
（1）A?B?A?B或A＝B； （2）A?B?A?B且A≠B； （3）A＝B?A?B且A?B。
5． 一个n阶集合（即由个元素组成的集合）有2个不同的子集，其中有2－1个非空子
nn集，也有2－1个真子集。
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n6． 集合的交、并、补运算
A?B={x|x?A且x?B}；A?B={x|x?A或x?B} A?{x|x?I且x?A}
要掌握有关集合的几个运算律：
（1） 交换律 A?B＝B?A，A?B＝B?A； （2） 结合律A?（B?C）＝（A?B）?C， A?（B?C）＝(A?B)?C；
（3） 分配律 A?（B?C）＝（A?B）?（A?C） A?（B?C）＝ (A?B) ?（A?C）
（4）0—1律 A??＝A，A?I＝A，A?I＝I，A??＝? （5）等幂律 A?A＝A，A?A＝A
（6）吸收律 A?(A?B)＝A，A?（A?B）＝A （7）求补律 A?CIA＝I，A?CIA＝? （8）反演律 A?B?A?B,A?B?A?B 7． 有限集合所含元素个数的几个简单性质
设n(X)表示集合X所含元素的个数,（1）n(A?B)?n(A)?n(B)?n(A?B), 当n(A?B)??时，n(A?B)?n(A)?n(B) （
2
）
n(A?B?C)?n(A)?n(B)?n(C)n(A?B)?n(A?C)?n(B?C)?n(A?B?C)
例题讲解
元素与集合的关系 1．
设A＝{a|a＝x2?y2,x,y?Z}，求证：（1）2k?1∈A(k?Z)；
2
－
（2）4k?2?A (k?Z) 2．
以某些整数为元素的集合P具有下列性质：①P中的元素有正数，有负数；
②P中的元素有奇数,有偶数；③－1?P；④若x，y∈P,则x＋y∈P试判断实数0和2与集合P的关系。 3．
设S为满足下列条件的有理数的集合：①若a∈S，b∈S，则a+b∈S，
ab?S；②对任一个有理数r，三个关系r∈S，－r∈S，r＝0有且仅有一个成立。
证明：S是由全体正有理数组成的集合。
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