第一章 三角函数 §1.4 三角函数的图象与性质
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)
课时目标 1.掌握y＝sin x，y＝cos x的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域或最值.2.掌握y＝sin x，y＝cos x的单调性，并能用单调性比较大小.3.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间．
y＝cos x 正弦函数、余弦函数的性质： 函数 y＝sin x 图象 定义域 值域 奇偶性 周期性 单调性 最值 ______ ______ ______ ______ ______ ______ 最小正周期：______ 最小正周期：______ 在在__________________________________ __________________________________________上单调递增；在上单调递增；在________________________________________________________________上单________________上单调递减 调递减 在________________________时，ymax在______________时，ymax＝1；在＝1；在__________________________时，ymin__________________________________＝－1 ______时，ymin＝－1
知识点归纳：
1．求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)单调区间的方法是：
ππ
把ωx＋φ看成一个整体，由2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋ (k∈Z)解出x的范围，所得区间即为
223π
增区间，由2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋π (k∈Z)解出x的范围，所得区间即为减区间．若ω<0，
22先利用诱导公式把ω转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间．
2．比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断． 3．求三角函数值域或最值的常用求法
将y表示成以sin x(或cos x)为元的一次或二次等复合函数再利用换元或配方、或利用函数的单调性等来确定y的范围．
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一、选择题
1．若y＝sin x是减函数，y＝cos x是增函数，那么角x在( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．若α，β都是第一象限的角，且α<β，那么( ) A．sin α>sin β B．sin β>sin α
C．sin α≥sin β D．sin α与sin β的大小不定 3．函数y＝sin2x＋sin x－1的值域为( )
5
－，－1? A.[－1，1] B.??4?
55－，1? D.?－1，? C.?4??4??
4．函数y＝|sin x|的一个单调增区间是( )
πππ3π－，? B.?，? A.??44??44?3π3π
π，? D.?，2π? C.?2???2?5．下列关系式中正确的是( ) A．sin 11° ππ? 6．下列函数中，周期为π，且在??4，2?上为减函数的是( ) ππ A．y＝sin(2x＋) B．y＝cos(2x＋) 22ππ C．y＝sin(x＋) D．y＝cos(x＋) 221 2 3 4 5 题 号 答 案 二、填空题 π －，π?的单调增区间是____________． 7．函数y＝sin(π＋x)，x∈??2?πππ 8．函数y＝2sin(2x＋)(－≤x≤)的值域是________． 366 9．sin 1，sin 2，sin 3按从小到大排列的顺序为__________________． π 10．设|x|≤，函数f(x)＝cos2x＋sin x的最小值是______． 4 三、解答题 11．求下列函数的单调增区间． x (1)y＝1－sin ； 21 (2)y＝log(cos 2x)． 2 6 第2页 ππ 2x－?＋b的定义域为?0，?，最大值为1，最小值为－5，求a12．已知函数f(x)＝2asin??3??2?和b的值． 能力提升 13．已知sin α>sin β，α∈??－π2，0??，β∈??π，3 2π?? ，则( ) A．α＋β>π B．α＋β<π C．α－β≥－32π D．α－β≤－3 2 π 14．已知函数f(x)＝2sin ωx(ω>0)在区间??－π3，π 4??上的最小值是－2，则ω的最小值等于( A.23 B.3 2 C．2 D．3 第3页 ) 1．4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二) 答案 知识梳理 πππ R R [－1,1] [－1,1] 奇函数 偶函数 2π 2π [－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z) [＋2kπ， 222 3ππ ＋2kπ] (k∈Z) [－π＋2kπ，2kπ] (k∈Z) [2kπ，π＋2kπ] (k∈Z) x＝＋2kπ (k∈Z) 22 π x＝－＋2kπ (k∈Z) x＝2kπ (k∈Z) x＝π＋2kπ (k∈Z) 2作业设计 1．C 2.D 15 3．C [y＝sin2x＋sin x－1＝(sin x＋)2－ 24 15 当sin x＝－时，ymin＝－； 24 当sin x＝1时，ymax＝1.] π3 kπ，kπ＋?，k∈Z，当k＝1时，得?π，π?4．C [由y＝|sin x|图象易得函数单调递增区间?2???2? 为y＝|sin x|的单调递增区间．] 5．C [∵sin 168°＝sin (180°－12°)＝sin 12°， cos 10°＝sin (90°－10°)＝sin 80° 由三角函数线得sin 11° ππ?π 6．A [因为函数周期为π，所以排除C、D.又因为y＝cos(2x＋)＝－sin 2x在??4，2?上为增2函数，故B不符合．故选A.] π?7.??2，π? 8．[0,2] πππ2π 解析 ∵－≤x≤，∴0≤2x＋≤. 6633π ∴0≤sin(2x＋)≤1，∴y∈[0,2] 3 9．b π 解析 ∵1<<2<3<π， 2 sin(π－2)＝sin 2，sin(π－3)＝sin 3. ππ0，?上递增，且0<π－3<1<π－2<， y＝sin x在??2?2 ∴sin(π－3) 2 解析 f(x)＝cos2x＋sin x＝1－sin2x＋sin x 15 ＝－(sin x－)2＋ 24π22∵|x|≤，∴－≤sin x≤. 422 1－22 ∴当sin x＝－时，f(x)min＝. 22 πx3 11．解 (1)由2kπ＋≤≤2kπ＋π，k∈Z， 222 第4页 得4kπ＋π≤x≤4kπ＋3π，k∈Z. x ∴y＝1－sin 的增区间为[4kπ＋π，4kπ＋3π] (k∈Z)． 2 (2)由题意得cos 2x>0且y＝cos 2x递减． π ∴x只须满足：2kπ<2x<2kπ＋，k∈Z. 2 π ∴kπ 4 π1 kπ，kπ＋?，k∈Z. ∴y＝log(cos 2x)的增区间为?4??2 ππx2 12．解 ∵0≤x≤，∴－≤2x－≤π， 2333π3 2x－?≤1，易知a≠0. ∴－≤sin?3??2 当a>0时，f(x)max＝2a＋b＝1， f(x)min＝－3a＋b＝－5. ?a＝12－63?2a＋b＝1 由?，解得?. ?－3a＋b＝－5?b＝－23＋123 当a<0时，f(x)max＝－3a＋b＝1， f(x)min＝2a＋b＝－5. ?a＝－12＋63?－3a＋b＝1 由?，解得?. ?2a＋b＝－5?b＝19－123 3 π，π?， 13．A [∵β∈??2?π －，0?，且sin(π－β)＝sin β. ∴π－β∈??2? π －，0?上单调递增， ∵y＝sin x在x∈??2? ∴sin α>sin β?sin α>sin(π－β) ?α>π－β?α＋β>π.] ππTπ3π 14．B [要使函数f(x)＝2sin ωx (ω>0)在区间[－，]上的最小值是－2，则应有≤或T≤， 344344 2ππ6π3 即≤或≤π，解得ω≥或ω≥6. 4ω3ω2 3 ∴ω的最小值为，故选B.] 2 第5页