学案65 二项式定理
导学目标： 1.能用计数原理证明二项式定理.2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．
自主梳理
1．二项式定理的有关概念
n1n－11n－kknn
(1)二项式定理：(a＋b)n＝C0b＋?＋Ckb＋?＋Cnb (n∈N*)，这个公式na＋Cnana叫做______________．
①二项展开式：右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式． ②项数：二项展开式中共有________项．
③二项式系数：在二项展开式中各项的系数________(k＝______________)叫做二项式系数．
④通项：在二项展开式中的________________叫做二项展开式的通项，用Tk＋1表示，即通项为展开式的第k＋1项：Tk＋1＝____________________.
2．二项式系数的性质
(1)对称性：与首末两端________的两个二项式系数相等．
(2)增减性与最大值：当n是偶数时，中间的一项二项式系数________________取得最大值；当n为奇数时，中间的两项二项式系数____________、________________________相等，且同时取得最大值．
偶012n24
(3)各二项式系数和：Cn＋Cn＋Cn＋?＋Cn＝______，C0n＋Cn＋Cn＋?＋Cn＝________，
奇135
Cn＋Cn＋Cn＋?＋Cn＝________.
自我检测 1．(2011·福建)(1＋2x)5的展开式中，x2的系数等于( ) A．80 B．40 C．20 D．10
－x6x
2．(2011·陕西)(4－2)(x∈R)展开式中的常数项是( ) A．－20 B．－15 C．15 D．20 3．(x－2y)10的展开式中x6y4项的系数是( ) A．840 B．－840 C．210 D．－210
?2－1?6
4．(2010·四川)?3?的展开式中的第四项是______．
x??
a
5．(2011·山东)若(x－2)6展开式的常数项为60，则常数a的值为________．
x
1
x2－?n的展开式中第4项的二项式系数最大，6．(2011·烟台期末)已知n为正偶数，且?2x??
则第4项的系数是__________．(用数字作答)
探究点一 二项展开式及通项公式的应用
?31???n的展开式中，第6项为常数项． x－例1 已知在?3??2x?
(1)求n；(2)求含x2的项的系数；
(3)求展开式中所有的有理项．
4
变式迁移1 (2010·湖北)在(x＋3y)20的展开式中，系数为有理数的项共有________项． 探究点二 二项式系数的性质及其应用
－23n
例2 (1)求证：C12n1； n＋2Cn＋3Cn＋?＋nCn＝n·
1 / 8
227
(2)求S＝C127＋C27＋?＋C27除以9的余数．
42k2n
变式迁移2 (2011·上海卢湾区质量调研)求C22n＋C2n＋?＋C2n＋?＋C2n的值． 探究点三 求系数最大项
3
例3 已知f(x)＝(x2＋3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992. (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项．
变式迁移3 (1)在(x＋y)n的展开式中，若第七项系数最大，则n的值可能等于( ) A．13,14 B．14,15 C．12,13 D．11,12,13
1
＋2x?n，(ⅰ)若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，(2)已知?2??
求展开式中二项式系数的最大项的系数；
(ⅱ)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．
1．二项式系数与项的系数是不同的，如(a＋bx) (a，b∈R)的展开式中，第r＋1项的二
rn－rr
项式系数是Crb. n，而第r＋1项的系数为Cna
2．通项公式主要用于求二项式的指数，求满足条件的项或系数，求展开式的某一项或
n－rr
系数．在运用公式时要注意：Crb是第r＋1项，而不是第r项． na
1nn
3．在(a＋b)n的展开式中，令a＝b＝1，得C0n＋Cn＋?＋Cn＝2；令a＝1，b＝－1，得012324135n－1Cn－Cn＋Cn－Cn＋?＝0，∴C0，这种由一般到n＋Cn＋Cn＋?＝Cn＋Cn＋Cn＋?＝2特殊的方法是“赋值法”．
4．二项式系数的性质有：(1)在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式
n1n－12n－2rn－r
系数相等，即C0n＝Cn，Cn＝Cn，Cn＝Cn，?，Cn＝Cn.(2)如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大．
5．二项式定理的一个重要作用是近似计算，当n不是很大，|x|比较小时，(1＋x)n≈1＋nx.利用二项式定理还可以证明整除性问题或求余数问题，证题时要注意变形的技巧．
n
(满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
?x＋1?24
1．(2011·山东实验中学模拟)在?3?的展开式中，x的幂指数是整数的项共有
x??
( )
A．3项 B．4项 C．5项 D．6项
n
2．(2011·重庆)(1＋3x)(其中n∈N且n≥6)的展开式中x5与x6的系数相等，则n等于( )
A．6 B．7 C．8 D．9
?x－1?n
3．(2011·黄山期末)在?23?的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式
x??
中常数项是( )
A．－7 B．7 C．－28 D．28
?3x－1?n
4．(2010·烟台高三一模)如果?32?的展开式中二项式系数之和为128，则展开式
x??
1
中3的系数是( ) x
2 / 8
A．7 B．－7 C．21 D．－21
5．在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中，含x3的项的系数是( ) A．74 B．121 C．－74 D．－121 二、填空题(每小题4分，共12分)
118
6．(2011·湖北)(x－)的展开式中含x15的项的系数为__________．(结果用数值表示)
3x
1
x－?6的展开式中的常数项为7．(2011·济南高三模拟)已知a＝?π(sin t＋cos t)dt，则??ax??
0
________．
1
1＋x＋2?10的展开式中的常数项是________． 8.?x??
三、解答题(共38分)
9．(12分)(1)设(3x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4. ①求a0＋a1＋a2＋a3＋a4； ②求a0＋a2＋a4； ③求a1＋a2＋a3＋a4；
＋
(2)求证：32n2－8n－9能被64整除(n∈N*)．
1
1＋?n<3. 10．(12分)利用二项式定理证明对一切n∈N*，都有2≤??n?2
x－2?n (n∈N*)的展开式中第五项的系数与第三项的11．(14分)(2011·泰安模拟)已知?x??系数的比是10∶1.
(1)求展开式中各项系数的和；
(2)求展开式中含x的项；
(3)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项．
32学案65 二项式定理
自主梳理
kn－kk
1．(1)二项式定理 ②n＋1 ③Ckb n 0,1,2，?，n ④Cna
n－kkCkb 2.(1)等距离 na
nn－1n－1
(2)Cn Cn
n2n+12
Cn
n-12
(3)2 2 2 自我检测
rrrr222
1．B [(1＋2x)5的第r＋1项为Tr＋1＝CrC5＝5(2x)＝2C5x，令r＝2，得x的系数为2·40.]
2．C [设展开式的常数项是第r＋1项，则Tr＋1＝Cr(4x)r·(－2x)6r，即Tr＋1＝Cr(－1)66·6·－r－－－
·22rx·2rx6x＝Cr(－1)6r·23rx6x，∴3rx－6x＝0恒成立．∴r＝2，∴T3＝C2(－1)4＝15.∴选6·6·C.]
3．A
1604．－ x
5．4
a－6－r6－3r
解析 (x－2)6展开式的通项为Tr＋1＝Cr(－1)r·(a)r·x2r＝Cr(－1)r·(a)r. 6x6xx
2
令6－3r＝0，得r＝2.故C6(a)2＝60，解得a＝4.
56．－ 2
课堂活动区
n－rr
例1 解题导引 (1)通项Tr＋1＝Crb是(a＋b)n的展开式的第r＋1项，而不是第rna
项；二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念，二项式系数是指Crn，r＝0,1,2，?，n，
－
－
3 / 8
与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分．
(2)求二项展开式中的有理项，一般是根据通项公式所得到的项，其所有的未知数的指数恰好都是整数的项．解这种类型的问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解．若求二项展开式中的整式项，则其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项的方式一致．
n-rr1-3r3?－?r
解 (1)通项公式为Tr＋1＝Cnx?2?x
＝Crn
?－1?rx?2?n-2r3，
n－2r
因为第6项为常数项，所以r＝5时，有＝0，
3
即n＝10.
n－2r11(2)令＝2，得r＝(n－6)＝×(10－6)＝2，
322
1?245?－∴所求的系数为C210
?2?＝4. 10－2r??3∈Z，
(3)根据通项公式，由题意得?0≤r≤10，
??r∈N.令
10－2r
＝k (k∈Z)，则10－2r＝3k， 3
3
即r＝5－k，∵r∈N，∴k应为偶数．
2
∴k可取2,0，－2，即r可取2,5,8.
所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为
11?51?8－22?8??－?2x2，C5－－C10，C1010?2??2??2?x. 变式迁移1 6
4－
解析 展开式的通项Tr＋1＝Crx20r·(3y)r 20·
r
由0≤r≤20，∈Z得r＝0,4,8,12,16,20.
4
所以系数为有理数的项共有6项．
nn＋1k
例2 解题导引 (1)在有关组合数的求和问题中，经常用到形如C0n＝Cn＝Cn＋1，Cn＝－kkk－1Cnn，kCn＝nCn－1等式子的变形技巧；
(2)利用二项式定理解决整除问题时，关键是进行合理地变形构造二项式．求余数问题时，应明确被除式f(x)、除式g(x)[g(x)≠0]、商式q(x)与余式的关系及余式的范围．
－123n
(1)证明 方法一 设S＝C1Cnn＋2Cn＋3Cn＋?＋(n－1)·n＋nCn，①
n－1n－221
∴S＝nCnn＋(n－1)Cn＋(n－2)Cn＋?＋2Cn＋Cn
12n－2n－1
＝nC0n＋(n－1)Cn＋(n－2)Cn＋?＋2Cn＋Cn，②
12n－1n
①＋②得2S＝n(C02n. n＋Cn＋Cn＋?＋Cn＋Cn)＝n·
－
∴S＝n·2n1.原式得证．
n！kk
方法二 ∵Ck n＝·nnk！?n－k?！
?n－1?！－1
＝＝Ckn－1， ?k－1?！?n－k?！
k－1
∴kCkn＝nCn－1.
4 / 8
rr20－rr＝C20·x·y·43.
1n1
∴左边＝nC0n－1＋nCn－1＋?＋nCn－1
－1n－1
＝n(C02n1＝右边． n－1＋Cn－1＋?＋Cn－1)＝n·
22727
(2)解 S＝C127＋C27＋?＋C27＝2－1 ＝89－1＝(9－1)9－1
91889
＝C09×9－C9×9＋?＋C9×9－C9－1
8178
＝9(C09×9－C9×9＋?＋C9)－2
8178
＝9(C09×9－C9×9＋?＋C9－1)＋7， 显然上式括号内的数是正整数． 故S被9除的余数为7.
122332n2n
变式迁移2 解 (1＋x)2n＝C02n＋C2nx＋C2nx＋C2nx＋?＋C2nx.
12n－12n2n
令x＝1得C02n＋C2n＋?＋C2n＋C2n＝2；
12rr2n－12n
再令x＝－1得C02n－C2n＋C2n－?＋(－1)C2n＋?－C2n＋C2n＝0. 两式相加，再用C02n＝1，
2n
－242n2得C2n＋C2n＋?＋C2n＝－1＝22n1－1.
2
－
n?
例3 解题导引 (1)求二项式系数最大的项：如果n是偶数，则中间一项[第??2＋1?项]n＋1n＋1?的二项式系数最大；如果n是奇数，则中间两项[第项与第?2?2＋1?项]的二项式系数相等且最大；
(2)求展开式系数最大的项：如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式中系数最大的项，一般是采用待定系数法．设展开式各项系数分别为A1，A2，?，An＋1，且第r＋1项系数最大，应用??Ar≥Ar－1?解出r来，即得系数最大的项． ?A≥A?rr＋1
解 (1)令x＝1，则二项式各项系数的和为 f(1)＝(1＋3)n＝4n，
又展开式中各项的二项式系数之和为2n. 由题意知，4n－2n＝992.
∴(2n)2－2n－992＝0，∴(2n＋31)(2n－32)＝0， ∴2n＝－31(舍)，或2n＝32，∴n＝5.
由于n＝5为奇数，所以展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是
骣2琪x3琪桫骣23琪3T4＝C5x琪桫T3＝C25
3
(3x2)2＝90x6， (3x)＝270x.
2(5+2r)rr
Tr＋1＝C53·3．
rr－1r－1?Cr3，?53≥C5·
223
223(2)展开式的通项公式为
x假设Tr＋1项系数最大，则有?rr r＋1r＋1
?C3≥C·3，?55
??
∴?5！5！
≥???5－r?！r！?4－r?！?r＋1?！×3.?
∴?13
≥?5－rr＋1.31≥，r6－r
5！5！
×3≥，
?5－r?！r！?6－r?！?r－1?！
79
∴≤r≤，∵r∈N，∴r＝4. 22
5 / 8