数值计算方法思考题
第一章 预篇
1．什么是数值分析？它与数学科学和计算机的关系如何？ 2．何谓算法？如何判断数值算法的优劣？
3．列出科学计算中误差的三个来源，并说出截断误差与舍入误差的区别。
4．什么是绝对误差与相对误差？什么是近似数的有效数字？它与绝对误差和相对误差有何关系？
5．什么是算法的稳定性？如何判断算法稳定？为什么不稳定算法不能使用？ 6．判断如下命题是否正确：
（1）一个问题的病态性如何，与求解它的算法有关系。 （2）无论问题是否病态，好的算法都会得到好的近似解。 （3）解对数据的微小变化高度敏感是病态的。 （4）高精度运算可以改善问题的病态性。
（5）用一个稳定的算法计算良态问题一定会得到好的近似值。 （6）用一个收敛的迭代法计算良态问题一定会得到好的近似值。 （7）两个相近数相减必然会使有效数字损失。
（8）计算机上将1000个数量级不同的数相加，不管次序如何结果都是一样的。 7．考虑二次代数方程的求解问题
ax2 + bx + c = 0.
下面的公式是熟知的
?b?b2?4acx?.
2a
与之等价地有
x?
对于
2c?b?b?4ac2.
a = 1, b = -100 000 000 , c = 1
应当如何选择算法？
8．指数函数有著名的级数展开
x2x3e?1?x????
2!3!x 如果对x < 0用上述的级数近似计算指数函数的值，这样的算法结果是否会好？为什么？
9．考虑数列xi, i = 1,…, n, 它的统计平均值定义为
x?1n?xi xi?1 它的标准差
2?1n2?????(xi?x)? n?1i?1??1 数学上它等价于
?1?n2??22??xi?nx?? ?????n?1???i?1???1 作为标准差的两种算法，你如何评价它们的得与失？
第二章 非线性方程求根
1．判断如下命题是否正确：
(a) 非线性方程的解通常不是唯一的；
(b) Newton法的收敛阶高于割线法；
(c) 任何方法的收敛阶都不可能高于Newton法； (d) Newton法总是比割线法更节省计算时间；
(e) 如果函数的导数难于计算，则应当考虑选择割线法； (f) Newton法是有可能不收敛；
(g) 考虑简单迭代法xk+1 = g(xk)，其中x* = g(x*)。如果| g?(x*) | <1，则对任意的初始值，上述迭代都收敛。
2．什么叫做一个迭代法是二阶收敛的？Newton法收敛时，它的收敛阶是否总是二阶
的？ 3．求解单变量非线性方程的单根，下面的3种方法，它们的收敛阶由高到低次序如何？ (a) 二分法
(b) Newton方法 (c) 割线方法
4．求解单变量非线性方程的解，Newton法和割线方法，它们每步迭代分别需要计算几
次函数值和导数值？
5．求解某个单变量非线性方程，如果计算函数值和计算导数值的代价相当，Newton
法和割线方法它的优劣应如何评价？
第三章 解线性方程组的直接法
1．用高斯消去法为什么要选主元？哪些方程组可以不选主元？
2．高斯消去法与LU分解有什么关系？用它们解线性方程组Ax = b有何不同？A要满足什么条件？
3．乔列斯基分解与LU分解相比，有什么优点？
4．哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？ 5．什么样的线性方程组可用追赶法求解并能保证计算稳定？ 6．何谓向量范数？给出三种常用的向量范数。
7．何谓矩阵范数？何谓矩阵的算子范数？给出矩阵A = (ai j )的三种范数|| A||1，|| A||2，|| A||∞，|| A||1与|| A||2哪个更容易计算？为什么？
8．什么是矩阵的条件数？如何判断线性方程组是病态的？ 9．满足下面哪个条件可判定矩阵接近奇异？ （1）矩阵行列式的值很小。 （2）矩阵的范数小。
（3）矩阵的范数大。 （4）矩阵的条件数小。 （5）矩阵的元素绝对值小。 10．判断下列命题是否正确： （1）只要矩阵A非奇异，则用顺序消去法或直接LU分解可求得线性方程组Ax = b的解。 （2）对称正定的线性方程组总是良态的。 （3）一个单位下三角矩阵的逆仍为单位下三角矩阵。 （4）如果A非奇异，则Ax = b的解的个数是由右端向量b的决定的。 （5）如果三对角矩阵的主对角元素上有零元素，则矩阵必奇异。 （6）范数为零的矩阵一定是零矩阵。 （7）奇异矩阵的范数一定是零。 （8）如果矩阵对称，则|| A||1 = || A||∞ 。
（9）如果线性方程组是良态的，则高斯消去法可以不选主元。
（10）在求解非奇异性线性方程组时，即使系数矩阵病态，用列主元消去法产生的误差也很小。
（11）|| A ||1 = || AT ||∞ 。
（12）若A是n ? n的非奇异矩阵，则
cond(A)?cond(A?1)。
（13）一个奇异的矩阵不可能有LU分解；
（14）一个非奇异的对称矩阵，如果不是正定的则不能有Cholesky分解。
11．假设矩阵A有cond(A) = 1，从而A是好条件的。问下面的哪些矩阵条件数也一定是1？ （a）cA，其中c是任意的非零常数； （d）QA，其中Q是任意的正交矩阵；
（b）DA，其中D是非奇异的对角矩阵； （e）A的逆矩阵； （c）BA，其中B是任意的非奇异矩阵； （f）A的转置矩阵。
第四章 解线性方程组的迭代法
1．写出求解线性方程组Ax = b的迭代法的一般形式。并给出它收敛的充分必要条件。 2．给出迭代法x(k?1)?Bx(k)?f收敛的充分条件、误差估计及其收敛速度。
3．写出解线性方程组Ax = b的雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法的计算公式，它们的基本区别是什么？
4．何谓矩阵A严格对角占优？何谓A不可约？
5．将雅可比迭代、高斯-塞德尔迭代和具有最优松弛参数的SOR迭代，按收敛快慢排列。 6．判断下列命题是否正确。 （1）雅可比迭代与高斯-塞德尔迭代同时收敛且后者比前者收敛快。 （2）高斯-塞德尔迭代是SOR迭代的特殊情形。 （3）A对称正定则SOR迭代一定收敛。 （4）A为严格对角占优或不可约对角占优，则解线性方程组Ax = b的雅可比迭代与高斯-塞德尔迭代均收敛。 （5）A对称正定则雅可比迭代与高斯-塞德尔迭代都收敛。 （6）SOR迭代法收敛，则松弛参数0< ? < 2。 点。
第五章 矩阵特征值和特正向量的求解
1．判断如下命题是否正确： (a) 对应于给定特征值的特征向量是唯一的；
(b) 每个n阶的方阵一定有n个线性无关的特征向量； (c) 实矩阵的特征值一定是实的；
(d) 一个n阶方阵奇异的充分必要条件是：0是该矩阵的特征值； (e) 任意的n阶的方阵，一定与某个对角矩阵相似；
(f) 如果两个n阶方阵的特征值相同，这两个矩阵一定相似；
(g) 一个n阶方阵的所有特征值都为0，这个矩阵一定是零矩阵； 2．下面各类的任意n阶矩阵，哪些矩阵的特征值一定可以用有限的代数运算精确求解？ (a)实对称矩阵； (d)上三角矩阵；
(b)对角矩阵； (e)上Hessenberg矩阵； (c)三对角矩阵； (f)没有重特征值的实矩阵。
3．对非奇异的矩阵，将下面各算法的复杂度由低到高排列出来： (a)计算矩阵的所有特征值和特征向量；
(b)用列主元Gauss消去法计算矩阵的LU分解； (c)计算矩阵的逆；
(d)回带求解系数矩阵为上三角的线性方程组。
4．求解特征值问题的条件数与求解线性方程组问题的条件数是否相同，两者分别是什
么？实对称矩阵的特征值问题总是良态的吗？
第六章 函数插值
1．什么是拉格朗日插值基函数？它们是如何构造的？有何重要性质？ 2．什么是牛顿基函数？它与单项式基{1, x, …, xn}有何不同？ 3．什么是函数的n价均差？它有何重要性质？
4．写出n + 1个点的拉格朗日插值多项式与牛顿均差插值多项式。它们有何异同？
5．用上题给出的三种不同基底构造插值多项式的方法确定基函数系数，试按工作量由低到高给出排序。
6．给出插值多项式的余项表达式。如何用它估计截断误差？ 7．埃尔米特插值与一般函数插值区别是什么？什么是泰勒多项式？它是什么条件下的插值多项式？
8．为什么高次多项式插值不能令人满意？分段低次插值与单个高次多项式插值相比有何优点？
9．三次样条插值三次分段埃尔米特插值有何区别？哪一个更优越？请说明理由。
10．确定n + 1个节点的三次样条插值函数要多少个参数？为确定这些参数，需加上什么条件？
11．判断下列命题是否正确？
（1）对给定的数据作插值，插值函数个数可以任意多。
（2）如果给定点集的多项式插值是唯一的，则其多项式表达式也是唯一的。
（3）li (x) (i= 0, 1,…, n )是关于节点xi ( i =0, 1, …, n)的拉格朗日插值基函数，则对任何次数不大于n的多项式P (x)都有
li(x)P(xi)?P(x)。 ?i?0n（4）当f (x)为连续函数，节点xi (i= 0, 1,…, n )为等距节点，构造拉格朗日插值多项式Ln
(x)，则n越大Ln(x)越接近f (x).
（5）同上题，若构造三次样条插值函数Sn (x)，则n越大得到的三次样条函数Sn (x)越接近f (x).
（6）高次拉格朗日插值是很常用的。 （7）函数f (x)的牛顿插值多项式Pn (x)，如果f (x)的各阶导数均存在，则当xi ?x0 (i= 1, 2,…, n ) 时，Pn (x)就是f (x)在x0点的泰勒多项式。
12．为更好地保持被逼近函数的凸性，你选择下述哪种方法： （a）Lagrange插值多项式； （b）3次样条插值函数； （c）3次Hermite插值函数。
13．数据量特别大时，你选择下述哪种方法： （a）Lagrange插值多项式； （b）3次Hermite插值函数； （c）3次样条插值函数； （d）最小二乘拟合。
第七章 函数逼近
1．f , g ?C [a , b]，它们的内积是什么？如何判断函数族{? 0, ? 1, …, ? n}?C [a , b]在[a ,b]上线性无关？ 2．什么是函数f ?C [a , b]在区[a , b]上的n 次最佳一致逼近多项式？
3．什么是f 在[a , b] 上的n次最佳平方逼近多项式？什么是数据?fi?0的最小二乘曲线
m拟合？ 4．什么是[ a , b ]上带权? (x)的正交多项式？什么是[ -1, 1 ]上的勒让德多项式？它有什么重要性质？
5．什么是切比雪夫多项式？它有什么重要性质？
6．用切比雪夫多项式零点做插值得到的插值多项式与拉格朗日插值有何不同？
7．什么是最小二乘拟合的法方程？用多项式做拟合曲线时，当次数n较大时为什么不直接求解法方程？
8．计算有理分式Rmn (x)为什么要化为连分式？
9．哪种类型函数用三角插值比用多项式插值或分段多项式插值更合适？ 12．判断下列命题是否正确？
（1）任何f (x) ?C [a , b]都能找到n次多项式Pn (x) ? Hn，使| f (x) - Pn (x) | ? ? ( ? 为任给的误差限)。
*（2）Pn(x)?Hn是f (x)在[ a , b]上的最佳一致逼近多项式，则limPn(x)?f(x)对
*n???x?[a,b]成立。
（3）f (x) ?C [a , b]在[a , b]上的最佳平方逼近多项式Pn (x) ? Hn则limPn(x)?f(x)。
n??（4）Pn(x)是首项系数为1的勒让德多项式，Qn (x) ? Hn是任一首项系数为1的多项式，
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