2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、选择题:1-8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．(1)( )
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
(2) 设函数f(x)?(ex?1)(e2x?2)L(enx?n)，其中n为正整数,则f?(0)? ( )
(A) (?1)n?1(n?1)! (B) (?1)n(n?1)! (C) (?1)n?1n! (D) (?1)nn! (3) 设an?0(n?1,2,3L),曲
线
x2?xy?2x?1的渐近线条数
Sn?a1?a2?a3?L?an，则数列?Sn?有界是数列?an?收敛的
(A) 充分必要条件 (B) 充分非必要条件
(C) 必要非充分条件 (D) 非充分也非必要
k?2(4) 设Ik??0exsinxdx,(k?1,2,3),则有
(A) I1?I2?I3 (B) I3?I2?I1 (C) I2?I3?I1 (D) I2?I1?I3 (5) 设函数f(x,y）为可微函数，且对任意的x,y都有
?(x,y)?(x,y)?0,?0,则使不等式?x?yf(x1,y1)?f(x2,y2)成立的一个充分条件是
(A) x1?x2,y1?y2 (B) x1?x2,y1?y2 (C) x1?x2,y1?y2 (D) x1?x2,y1?y2
?2(6) 设区域D由曲线y?sinx,x??,y?1围成，则??(x5y?1)dxdy?
D(A) ? (B) 2 (C) -2 (D) -?
?0??0??1???1??? ,?? ,?? ,其中c,c,c,c为任意常数，则下列向量组线?, (7) 设α1??0α?1α??1α?1234234?????1????c??c??c??c??2??3??4??1?性相关的为 ( )
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(A)α1,α2,α3 (B) α1,α2,α4 (C)α1,α3,α4 (D)α2,α3,α4
?100??.若P?α,α,α，P为3阶可逆矩阵，(8) 设A为3阶矩阵，且P?1AP??010?123?Q??α1?α2,α2,α3????002???则Q?1AQ? ( )
?100??100??200??200?? (B) ?? (C) ?? (D)??
(A) ?020010010020?????????001??002??002??001?????????二、填空题：9-14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上. ．．．
d2y(9) 设y?y(x)是由方程x?y?1?e所确定的隐函数，则2dx2yx?0? .
?(10)limn? ??L???22222?n??1?n2?nn?n?? .
111??z?z1?(11) 设z?f?lnx??,其中函数f?u?可微，则x?y2? .
?x?yy??(12) 微分方程ydx??x?3y2?dy?0满足条件y(13) 曲线y?x2?x?x?0?上曲率为
x?1?1的解为y? .
2的点的坐标是 . 2(14) 设A为3阶矩阵，A=3，A*为A伴随矩阵，若交换A的第1行与第2行得矩阵B，则
BA*? .
三、解答题：15-23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、．．．证明过程或演算步骤. (15)(本题满分 10 分)
已知函数f?x??1?x1?，记a?limf?x?，
x?0sinxx(I)求a的值;
(II)若x?0时，f?x??a与xk是同阶无穷小，求常数k的值. (16)(本题满分 10 分)
求函数f?x,y??xe?x2?y22的极值.
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(17)(本题满分12分)
过(0,1)点作曲线L:y?lnx的切线,切点为A,又L与x轴交于B点,区域D由L与直线AB围成,求区域D的面积及D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积. (18)(本题满分 10 分)
计算二重积分??xyd?，其中区域D为曲线r?1?cos??0?????与极轴围成.
D(19)(本题满分10分)
已知函数f(x)满足方程f??(x)?f?(x)?2f(x)?0及f??(x)?f(x)?2ex, (I) 求f(x)的表达式;
(II) 求曲线y?f(x2)?0f(?t2)dt的拐点. (20)(本题满分10分)
1?xx2证明xln,(?1?x?1). ?cosx?1?1?x2x(21)(本题满分10 分)
(I)证明方程xn+xn-1?L?x?1?n?1的整数?，在区间?,1?内有且仅有一个实根；
2(II)记(I)中的实根为xn，证明limxn存在，并求此极限.
n???1???(22)(本题满分11 分)
a00??1?????11a0?，????
?0?01a????001??0?(I) 计算行列式A； ?1?0设A???0??a(II) 当实数a为何值时，方程组Ax??有无穷多解，并求其通解. (23)(本题满分11 分)
?1?0已知A????1??0011??1?，二次型f?x1,x2,x3??xT?ATA?x的秩为2，
0a??a?1?(I) 求实数a的值；
(II) 求正交变换x?Qy将f化为标准形.
2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
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一、选择题:1-8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．
1.已知当x?0时，函数f(x)?3sinx?sin3x与cx是等价无穷小，则
kA k=1,c=4 B k=a, c=-4 C k=3,c=4 D k=3,c=-4 A ?2f?(0) B ?f?(0) C f?(0) D 0
2.函数f(x)?ln(x?1)(x?2)(x?3)的驻点个数为
A 0 B 1 C 2 D 3
3.微分方程y???2y?e?x?e??x(??0)的特解形式为
Aa(e?x?e??x) B ax(e?x?e??x) Cx(ae?x?be??x) Dx2(ae?x?be??x)
5设函数f(x)具有二阶连续导数，且f(x)?0,f?(0)?0，则函数z?f(x)lnf(y)在点（0，0）处取得极小值的一个充分条件
A f(0)?1,f??(0)?0 B f(0)?1,f??(0)?0 C f(0)?1,f??(0)?0 D
f(0)?1,f??(0)?0
6.设I??0lnsinxdx,J??0lncotxdx,K??0lncosxdx则I、J、K的大小关系是
444???A I 7.设A为3阶矩阵，将A的第二列加到第一列得矩阵B，再交换B的第二行与第一行得单位 ?100??100?????P1??111?,P2??001?,??矩阵。记?000???010??则A= ?1?1A P1P2 B P2P1 D P1P2 C P2P1 8设A?(?1,?2,?3,?4)是4阶矩阵，A*是A的伴随矩阵，若(1,0,1,0)T是方程组Ax?0的一个基础解系，则A*x?0的基础解系可为 A ?1,?3 B ?1,?2 C ?1,?2,?3 D ?2,?3,?4 二填空题 第 4 页 1?2xx)?____________ 9.lim(x?02?x10.微分方程y??y?ecosx满足条件y(0)?0的解y?____________ x111.曲线y??0tantdt(0?x?12.设函数 ?4)的弧长s=____________ f(x)????,x?00,x?0,??0 ，则?????xf(x)dx? 13.设平面区域D由y=x,圆x2?y2?2y及y轴所组成，则二重积分??xyda?________ D14.二次型f(x1,x2,x3)?x12?3x22?x32?2x1x2?2x1x3?2x2x3，则f的正惯性指数为________________ 三解答题 ?15.已知函数F(x)?x0ln(1?t2)dtx?，设limF(x)?limF(x)?0，试求?的取值范围。 x???x?0?1t3?t??x?133?16.设函数y=y(x)有参数方程y?1t3?t?1?33，求y=y(x)的数值和曲线y=y(x)的凹凸区间及拐点。 17.设z?f(xy,yg(x))，其中函数f具有二阶连续偏导数，函数g(x)可导，且在x=1处取得极 ?2z值g(1)=1,求 ?x?yx?1,y?1 18.设函数y(x)具有二阶导数，且曲线l:y=y(x)与直线y=x相切于原点，记?是曲线l在点（x,y) d?dy?，求y(x)的表达式。 dxdx111?ln(1?)? 19.证明：1）对任意正整数n，都有n?1nn112）设an?1?????lnn(n?1,2,?),证明{an}收敛。 2n外切线的倾角 20.一容器的内侧是由图中曲线绕y旋转一周而成的曲面，该曲面由 11x2?y2?2y(y?),x2?y2?1(y?)连接而成。 22（1）求容器的容积。 第 5 页