（5）设函数y?y(x)由方程y?1?xey确定，则
dydxx?0?
?21?（6）设矩阵A???，E为2阶单位矩阵，矩阵B满足BA?B?2E，则
?12??二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.
（7）设函数y?f(x)具有二阶导数，且f?(x)?0,f??(x)?0，?x为自变量x在点x0处的增量，
?y与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分，若?x?0，则[ ]
(A) 0?dy??y. (B) 0??y?dy.
(C) ?y?dy?0. (D) dy??y?0 .
（8）设f(x)是奇函数，除x?0外处处连续，x?0是其第一类间断点，则?f(t)dt是
0x（A）连续的奇函数.
（B）连续的偶函数
（D）在x?0间断的偶函数. [ ]
（C）在x?0间断的奇函数
（9）设函数g(x)可微，h(x)?e1?g(x),h?(1)?1,g?(1)?2，则g(1)等于
（A）ln3?1. （C）?ln2?1.
（B）?ln3?1.
[ ]
（D）ln2?1.
（10）函数y?C1ex?C2e?2x?xex满足的一个微分方程是
（A）y???y??2y?3xex. （C）y???y??2y?3xex.
?0（B）y???y??2y?3ex.
（D）y???y??2y?3ex. [ ]
10（11）设f(x,y)为连续函数，则?4d??f(rcos?,rsin?)rdr等于 （Ａ）?0dx?x(C)
221?x2f(x,y)dy. （B）?f(x,y)dx. (D) ?220dx?dy?1?x20f(x,y)dy.
?220dy?1?y2y221?y200f(x,y)dx . [ ]
（12）设f(x,y)与?(x,y)均为可微函数，且?y?(x,y)?0，已知(x0,y0)是f(x,y)在约束条件
?(x,y)?0下的一个极值点，下列选项正确的是 [ ]
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(A) 若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0. (B) 若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0. (C) 若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0.
(D) 若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0.
（13）设?1,?2,L,?s均为n维列向量，A为m?n矩阵，下列选项正确的是 [ ]
(A) (B)
若?1,?2,L,?s线性相关，则A?1,A?2,L,A?s线性相关. 若?1,?2,L,?s线性相关，则A?1,A?2,L,A?s线性无关.
(C) 若?1,?2,L,?s线性无关，则A?1,A?2,L,A?s线性相关.
(D) 若?1,?2,L,?s线性无关，则A?1,A?2,L,A?s线性无关.
（14）设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的?1倍加到第2列
?110??010得C，记P????，则 ?001???（Ａ）C?P?1AP. （Ｂ）C?PAP?1.
（Ｃ）C?PTAP. （Ｄ）C?PAPT. ［ ］ 三 、解答题：15－23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分）
试确定A,B,C的值，使得ex(1?Bx?Cx2)?1?Ax?o(x3)，其中o(x3)是当x?0时比x3高阶的无穷小.
arcsinexdx. （16）（本题满分10分）求 ?xe（17）（本题满分10分）设区域D?(x,y)x2?y2?1,x?0， 计算二重积分??D??1?xydxdy.
1?x2?y2（18）（本题满分12分）设数列?xn?满足0?x1??,xn?1?sinxn(n?1,2,L)
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1?xn?1?xn2（Ⅰ）证明limxn存在，并求该极限；（Ⅱ）计算lim??. n??n???xn?（19）（本题满分10分） 证明：当0?a?b??时， （20）（本题满分12分）
设函数f(u)在(0,??)内具有二阶导数，且z?f（I）验证f??(u)?f?(u)?0； u?x?y22??2z?2z满足等式2?2?0.
?x?y（II）若f(1)?0,f?(1)?1，求函数f(u)的表达式. （21）（本题满分12分）
?x?t2?1已知曲线L的方程?2?y?4t?t,(t?0)（I）讨论L的凹凸性；（II）过点(?1,0)引L的切
线，求切点(x0,y0)，并写出切线的方程；（III）求此切线与L（对应于x?x0的部分）及x轴所围成的平面图形的面积. （22）（本题满分9分）
已知非齐次线性方程组
?x1?x2?x3?x4??1??4x1?3x2?5x3?x4??1有3个线性无关的解.（Ⅰ）证明方程组系数矩阵A的秩?ax?x?3x?bx?134?12（Ⅱ）求a,b的值及方程组的通解. r?A??2；
（23）（本题满分9分）
设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量?1???1,2,?1?,?2??0,?1,1?是线性方程组Ax?0的两个解.
(Ⅰ) 求A的特征值与特征向量；
(Ⅱ) 求正交矩阵Q和对角矩阵?,使得QTAQ??.
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2005年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
二、填空题（本题共
6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）
x??（1）设y?(1?sinx)x，则dy（2）曲线y?（3）?1 = .
(1?x)x32的斜渐近线方程为 .
? .
19xdx(2?x)1?x220（4）微分方程xy??2y?xlnx满足y(1)??的解为 .
（5）当x?0时，?(x)?kx2与?(x)?1?xarcsinx?cosx是等价无穷小，则k= . （6）设?1,?2,?3均为3维列向量，记矩阵 如果A?1，那么B? .
二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） （7）设函数f(x)?limn1?xn??3n，则f(x)在(??,??)内[ ]
(A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点.
(C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点.
（8）设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，\M?N\表示“M的充分必要条件是N”，则必有[ ]
(A)
F(x)是偶函数?f(x)是奇函数.
（B） F(x)是奇函数?f(x)是偶函数.
(C) F(x)是周期函数?f(x)是周期函数.
(D) F(x)是单调函数?f(x)是单调函数.
?x?t2?2t,（9）设函数y=y(x)由参数方程?确定，则曲线y=y(x)在x=3处的法线与x轴交点
y?ln(1?t)?的横坐标是 [ ]
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(A) ln2?3. (B) ?ln2?3.
(C) ?8ln2?3. (D) 8ln2?3.
（10）设区域D?{(x,y)x2?y2?4,x?0,y?0}，f(x)为D上的正值连续函数，a,b为常数，则
1818??Daf(x)?bf(y)f(x)?f(y)d??[ ]
(A) ab?. (B)
aba?b?. (C) (a?b)?. (D) ? . 22x?yx?y（11）设函数u(x,y)??(x?y)??(x?y)???(t)dt, 其中函数?具有二阶导数，? 具有一阶导数，则必有[ ]
?2u?2u?2u?2u?2u?2u?2u?2u(A) 2??2. （B） 2?2. (C) . (D) . ???x?y?y2?x?y?x2?x?y?x?y（12）设函数f(x)?e(A)
1xx?1,则[ ] ?1 x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点.
（B） x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点.
(C) x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点.
(D)
x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点.
（13）设?1,?2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为?1,?2，则?1，A(?1??2)线性无关的充分必要条件是[ ]
(A) ?1?0. (B) ?2?0. (C) ?1?0. (D) ?2?0.
（14）设A为n（n?2）阶可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得矩阵B, A*,B*分别为A,B的伴随矩阵，则 [ ]
(C)
交换A*的第1列与第2列得B*. (B) 交换A*的第1行与第2行得B*.
(C) 交换A*的第1列与第2列得?B*. (D) 交换A*的第1行与第2行得?B*.
三 、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
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