?（15）（本题满分11分）设函数f(x)连续，且f(0)?0，求极限limx?0x0(x?t)f(t)dtx0.
x?f(x?t)dt（16）（本题满分11分）
如图，C1和C2分别是y?(1?ex)和y?ex的图象，过点是一单调增函数的图象. 过C2上任一点M(x,y)分别作垂直直线lx和ly. 记C1,C2与lx所围图形的面积为S1(x)；C2,C3与面积为S2(y).如果总有S1(x)?S2(y)，求曲线C3的方程x??(y). （17）（本题满分11分）
如图，曲线C的方程为y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线l1与l2分别是曲线C在点(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4). 设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分
12(0,1)的曲线C3于x轴和y轴的
ly所围图形的
?(x032?x)f???(x)dx.
（18）（本题满分12分）
用变量代换x?cost(0?t??)化简微分方程(1?x2)y???xy??y?0，并求其满足
yx?0?1,y?x?0?2的特解.
（19）（本题满分12分）已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1. 证明：
（I）存在??(0,1), 使得f(?)?1??；（II）存在两个不同的点?,??(0,1)，使得f?(?)f?(?)?1. （20）（本题满分10分）
已知函数z=f(x,y) 的全微分dz?2xdx?2ydy，并且f(1,1,)=2. 求f(x,y)在椭圆域
y2D?{(x,y)x??1}上的最大值和最小值.
42（21）（本题满分9分）
计算二重积分??x2?y2?1d?，其中D?{(x,y)0?x?1,0?y?1}.
D（22）（本题满分9分）
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确定常数
a,使向量组?1?(1,1,a)T,?2?(1,a,1)T,?3?(a,1,1)T可由向量组
?1?(1,1,a)T,?2?(?2,a,4)T,?3?(?2,a,a)T线性表示，但向量组?1,?2,?3不能由向量组?1,?2,?3线性表示.
（23）（本题满分9分）
?123??246已知3阶矩阵A的第一行是(a,b,c),a,b,c不全为零，矩阵B??（k为常数），且AB=O, ????36k??求线性方程组Ax=0的通解.
2004年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一. 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上. ）
（1）设f(x)?lim(n?1)x, 则f(x)的间断点为x? .
n??nx2?13??x?t?3t?1（2）设函数y(x)由参数方程 ? 确定, 则曲线y?y(x)向上凸的x取值范围为3??y?t?3t?1____..
（3）???dxxx?121?_____..
?z?z??______. ?x?y（4）设函数z?z(x,y)由方程z?e2x?3z?2y确定, 则365（5）微分方程(y?x3)dx?2xdy?0满足yx?1?的特解为_______.
?210?????120AABA?2BA?E（6）设矩阵A??, 矩阵满足, 其中为A的伴随矩阵, E是B???001???单位矩阵, 则B?______-.
二. 选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内. ）
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（7）把x?0时的无穷小量???costdt, ???tantdt, ???0?x2x2x00sint3dt排列起来, 使
排在后面的是前一个的高阶无穷小, 则正确的排列次序是?（A）?,?,?. （B）?,?,?.
?
（C）?,?,?. （D）?,?,?. （8）设f(x)?x(1?x), 则??
（A）x?0是f(x)的极值点, 但(0,0)不是曲线y?f(x)的拐点. （B）x?0不是f(x)的极值点, 但(0,0)是曲线y?f(x)的拐点. （C）x?0是f(x)的极值点, 且(0,0)是曲线y?f(x)的拐点. （D）x?0不是f(x)的极值点, (0,0)也不是曲线y?f(x)的拐点. （9）limlnn(1?)2(1?)2L(1?)2等于?n??21n2nnn?
21（A） ?ln2xdx. （B） 2?lnxdx.
1（C） 2?ln(1?x)dx. （D） ?ln2(1?x)dx
1122（10）设函数f(x)连续, 且f?(0)?0, 则存在??0, 使得 ?（A）f(x)在(0,?)内单调增加. （B）f(x)在(??,0)内单调减小. （C）对任意的x?(0,?)有f(x)?f(0). （D）对任意的x?(??,0)有f(x)?f(0).
（11）微分方程y???y?x2?1?sinx的特解形式可设为 ?（A）y??ax2?bx?c?x(Asinx?Bcosx). （B）y??x(ax2?bx?c?Asinx?Bcosx). （C）y??ax2?bx?c?Asinx.
（D）y??ax2?bx?c?Acosx
?
?
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（12）设函数f(u)连续, 区域D?(x,y)x2?y2?2y, 则??f(xy)dxdy等于?D???
（A）?dx??12011?x2?1?x2f(xy)dy. f(xy)dx.
（B）2?dy?（C）?d??02y?y20?2sin?02sin?0f(r2sin?cos?)dr. f(r2sin?cos?)rdr
（D）?d??0?（13）设A是3阶方阵, 将A的第1列与第2列交换得B, 再把B的第2列加到第3列得C, 则满足AQ?C的可逆矩阵Q为??
?010??010????100101（A）?. （B）????. ?101??001??????010??011????100100（C）?. （D）????. ?011??001?????（14）设A,B为满足AB?0的任意两个非零矩阵, 则必有?（A）A的列向量组线性相关,B的行向量组线性相关. （B）A的列向量组线性相关,B的列向量组线性相关. （C）A的行向量组线性相关,B的行向量组线性相关.
?
（D）A的行向量组线性相关,B的列向量组线性相关.
三. 解答题（本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）
（15）（本题满分10分）
1求极限lim3x?0x??2?cosx?x?????1?.
3??????（16）（本题满分10分）
设函数f(x)在（??,??）上有定义, 在区间[0,2]上, f(x)?x(x2?4), 若对任意的x都满足f(x)?kf(x?2), 其中k为常数.
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(Ⅰ)写出f(x)在[?2,0]上的表达式; (Ⅱ)问k为何值时, f(x)在x?0处可导. （17）（本题满分11分） 设f(x)??x?x?2sintdt,(Ⅰ)证明f(x)是以?为周期的周期函数;(Ⅱ)求f(x)的值域.
（18）（本题满分12分）
ex?e?x曲线y?与直线x?0,x?t(t?0)及y?0围成一曲边梯形. 该曲边梯形绕x轴旋转
2一周得一旋转体, 其体积为V(t), 侧面积为S(t), 在x?t处的底面积为F(t).
(Ⅰ)求
S(t)S(t)的值; (Ⅱ)计算极限lim.
t???F(t)V(t)4(b?a). e2（19）（本题满分12分）设e?a?b?e2, 证明ln2b?ln2a?（20）（本题满分11分）
某种飞机在机场降落时,为了减小滑行距离,在触地的瞬间,飞机尾部张开减速伞,以增大阻力,使飞机迅速减速并停下来.现有一质量为9000kg的飞机,着陆时的水平速度为700km/h.经测试,减速伞打开后,飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为k?6.0?106).问从着陆点算起,飞机滑行的最长距离是多少?
注 kg表示千克,km/h表示千米/小时.
?z?z?2z（21）（本题满分10分）设z?f(x?y,e),其中f具有连续二阶偏导数,求,,.
?x?y?x?y22xy（22）（本题满分9分） 设有齐次线性方程组
试问a取何值时, 该方程组有非零解, 并求出其通解.
（23）（本题满分9分）
?12?3???14?3设矩阵???的特征方程有一个二重根, 求a的值, 并讨论A是否可相似对角化. ?1a5???第 25 页