第一章 随机事件及其概率
概率论与数理统计是从数量化的角度来研究现实世界中一类不确定现象（随机现象）规律性的一门应用数学学科，20世纪以来，广泛应用于工业、国防、国民经济及工程技术等各个领域. 本章介绍的随机事件与概率是概率论中最基本、最重要的概念之一.
【教学目的与要求】
通过学习，使学生理解随机事件和样本空间的概念；熟练掌握事件间的关系与基本运算。理解事件频率的概念；了解随机现象的统计规律性。 知道概率的公理化定义；理解古典概型的概念；了解几何概率；掌握概率的基本性质（特别是加法定理），会应用这些性质进行概率计算。理解条件概率的概念；掌握乘法定理、全概率公式和贝叶斯公式，并会应用这些公式进行概率计算。理解事件独立性的概念，会应用事件的独立性进行概率计算。掌握贝努里概型及有关事件概率的计算。 【教学重点】
事件的关系与运算；概率的公理化体系；古典概型的计算；概率的加法公式、乘法公式与全概率公式；条件概率与事件的独立性。贝努里概型。 【教学难点】
古典概率的计算；全概公式与贝叶斯公式的应用；
【计划课时】8 【教学内容】
第一节 随机事件
一. 随机现象
从亚里士多德时代开始,哲学家们就已经认识到随机性在生活中的作用, 但直到20世纪初, 人们才认识到随机现象亦可以通过数量化方法来进行研究. 概率论就是以数量化方法来研究随机现象及其规律性的一门数学学科.而我们已学过的微积分等课程则是研究确定性现象的数学学科.
二. 随机现象的统计规律性
由于随机现象的结果事先不能预知, 初看似乎毫无规律. 然而人们发现同一随机现象大量重复出现时, 其每种可能的结果出现的频率具有稳定性, 从而表明随机现象也有其固有的规律性. 人们把随机现象在大量重复出现时所表现出的量的规律性称为随机现象的统计规律性. 概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的一门学科.
为了对随机现象的统计规律性进行研究,就需要对随机现象进行重复观察, 我们把对随机现象的观察称为随机试验, 并简称为试验，记为E. 例如, 观察某射手对固定目标进行射击; 抛一枚硬币三次,观察出现正面的次数; 记录某市120急救电话一昼夜接到的呼叫次数等均为随机试验.
随机试验具有下列特点:
1. 可重复性: 试验可以在相同的条件下重复进行;
2. 可观察性: 试验结果可观察,所有可能的结果是明确的; 3. 不确定性: 每次试验出现的结果事先不能准确预知.
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三. 样本空间
尽管一个随机试验将要出现的结果是不确定的, 但其所有可能结果是明确的, 我们把随机试验的每一种可能的结果称为一个样本点, 记为e（或?）；它们的全体称为样本空间, 记为S(或?).
基本事件的称谓是相对观察目的而言它们是不可再分解的、最基本的事件，其它事件均可由它们复合而成，一般地，我们称由基本事件复合而成的事件为复合事件. 四. 事件的集合表示
按定义, 样本空间S是随机试验的所有可能结果(样本点)的全体, 故样本空间就是所有样本点构成的集合, 每一个样本点是该集合的元素. 一个事件是由具有该事件所要求的特征的那些可能结果所构成的, 所以一个事件对应于S中具有相应特征的样本点(元素)构成的集合, 它是S的一个子集. 于是, 任何一个事件都可以用S的某一子集来表示,常用字母A,B,?等表示.
五. 事件的关系与运算
因为事件是样本空间的一个集合, 故事件之间的关系与运算可按集合之间的关系和运算来处理.
六. 事件的运算规律
事件间的关系及运算与集合的关系及运算是一致的，为了方便，给出下列对照表：
表1.1
记号??概率论样本空间,必然事件不可能事件基本事件事件A的对立事件事件A发生导致B发生事件A与事件B相等事件A与事件B至少有一个发生事件A与事件B同时发生事件A发生而事件B不发生事件A和事件B互不相容集合论全集空集元素子集A的余集A是B的子集A与B的相等A与B的和集A与B的交集A与B的差集A与B没有相同的元素?AAA?BA?BA?BABA?BAB??
例题选讲：
例1 在管理系学生中任选一名学生, 令事件A表示选出的是男生, 事件B表示选出的是三年级学生, 事件C表示该生是运动员.
(1)叙述事件ABC的意义; (2)在什么条件下ABC?C成立? (3)什么条件下C?B? (4)什么条件下A?B成立?
例2 考察某一位同学在一次数学考试中的成绩, 分别用A, B, C, D, P, F表示下列各事件(括号中表示成绩所处的范围):A??优秀([90,100]), B??良好([80,90)) ,C??中等([70,80)), D??及格([60,70)),P??通过([60,100]), F??未通过([0,60)),
则A,B,C,D,F是两两不相容事件P与F是互为对立事件，即有P?F; A,B,C,D均为P的子事件，且有P?A?B?C?D.
例3 甲，乙，丙三人各射一次靶，记A?“甲中靶” B?“乙中靶” C?“丙中靶” 则可用上述三个事件的运算来分别表示下列各事件：
(1) “甲未中靶”： A; (2) “甲中靶而乙未中靶”： AB;
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(3) “三人中只有丙未中靶”ABC; (4) “三人中恰好有一人中靶”：ABC?ABC?ABC; (5)“三人中至少有一人中靶”A?B?C; (6)“三人中至少有一人未中靶”A?B?C;或ABC; (7)“三人中恰有兩人中靶”ABC?ABC?ABC;(8)“三人中至少兩人中靶”AB?AC?BC; (9)“三人均未中靶” ABC; (10)“三人中至多一人中靶ABC?ABC?ABC?ABC; (11)“三人中至多兩人中靶”ABC;或A?B?C;
注：用其他事件的运算来表示一个事件, 方法往往不惟一，如上例中的(6)和(11)实际上是同一事件，读者应学会用不同方法表达同一事件, 特别在解决具体问题时,往往要根据需要选择一种恰当的表示方法.
例4 指出下列各等式命题是否成立, 并说明理由:
(1) A?B?(AB)?B; (2) AB?A?B;
(3) A?B?C?ABC; (4) (AB)(AB)??;
(5) 如果A?B, 则A?AB; (6) 如果AB??, 且C?A,则BC??; (7) 如果A?B, 那么B?A; (8) 如果B?A, 那么A?B?A. 例5 化簡下列事件：(1) (A?B)(A?B); (2) AB?AB?AB.
思考题
1. 设当事件A与B同时发生时C也发生, 则 ( ).
(A) A?B是C的子事件; (B)ABC;或A?B?C;
(C) AB是C的子事件; (D) C是AB的子事件.
2. 设事件A?{甲种产品畅销, 乙种产品滞销}, 则A的对立事件为 ( ). (A) 甲种产品滞销,乙种产品畅销; (B) 甲种产品滞销;
(C) 甲、乙两种产品均畅销; (D) 甲种产品滞销或者乙种产品畅销.
第二节 随机事件的概率
对一个随机事件A，在一次随机试验中，它是否会发生，事先不能确定. 但我们可以问，在一次试验中，事件A发生的可能性有多大？并希望找到一个合适的数来表征事件A在一次试验中发生的可能性大小. 为此，本节首先引入频率，它描述了事件发生的频繁程度，进而引出表征事件在一次试验中发生的可能性大小的数----概率. 一. 频率及其性质
定义1 若在相同条件下进行n次试验, 其中事件A发生的次数为rn(A), 则称
fn(A)?rn(A)为事件A发生的频率.易见, 频率具有下述基本性质: 1. 0?fn(A)?1; n2. fn(S)?1; 3. 设A1,A2,?,An是两两互不相容的事件, 则 fn(A1?A2???An)?fn(A1)?fn(A2)???fn(An).
二. 概率的统计定义
rn(A)随着试验次数nn的增大而稳定地在某个常数p(0?p?1)附近摆动，则称p为事件的概率，记为P(A). 定义2在相同条件下重复进行n次试验，若事件A发生的频率fn(A)?频率的稳定值是概率的外在表现, 并非概率的本质. 据此确定某事件的概率是困难的，但当进行大量重复试验时,频率会接近稳定值, 因此，在实际应用时，往往是用试验次数足够
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大的频率来估计概率的大小, 且随着试验次数的增加, 估计的精度会越来越高。 三. 概率的公理化定义
任何一个数学概念都是对现实世界的抽象，这种抽象使得其具有广泛的适用性. 概率的频率解释为概率提供了经验基础, 但是不能作为一个严格的数学定义, 从概率论有关问题的研究算起, 经过近三个世纪的漫长探索历程, 人们才真正完整地解决了概率的严格数学定义. 1933年, 前苏联著名的数学家柯尔莫哥洛夫, 在他的“概率论的基本概念”一书中给出了现在已被广泛接受的概率公理化体系, 第一次将概率论建立在严密的逻辑基础上.
定义3 设E是随机试验, S是它的样本空间,对于E的每一个事件A赋于一个实数, 记为P(A), 若P(A)满足下列三个条件:
1. 非负性：对每一个事件A,有 P(A)?0; 2. 完备性：P(S)?1; 3. 可列可加性：设A1,A2,?是两两互不相容的事件，则有P(?Ai)?i?1??P(A).
ii?1?则称P(A)为事件A的概率. 四. 概率的性质 性质1--性质
例题选讲： 频率及其性质
例1 圆周率??3.1415926??是一个无限不循环小数, 我国数学家祖冲之第一次把它计算到小数点后七位, 这个记录保持了1000多年! 以后有人不断把它算得更精确. 1873年, 英国学者沈克士公布了一个?的数值, 它的数目在小数点后一共有707位之多! 但几十年后, 曼彻斯特的费林生对它产生了怀疑. 他统计了?的608位小数, 得到了下表:
数字0123456789
出现次数60626768645662445867你能说出他产生怀疑的理由吗?
因为?是一个无限不循环小数，所以，理论上每个数字出现的次数应近似相等，或它们出现的频率应都接近于0.1，但7出现的频率过小.这就是费林产生怀疑的理由.
概率的统计定义
例2 检查某工厂一批产品的质量, 从中分别抽取10件、20件、50件、100件、150件、200件、300件检查, 检查结果及次品频列入表1-21
抽取产品总件数n10次品数?次品频率?/n00201503100515072001130016
0.0500.0600.0500.0470.0550.053由表1看出, 在抽出的n件产品中, 次品数?随着n的不同而取不同值, 从而次品频率
?仅在0.05附近有微小变化. 所以0.05是次品频率的稳定值. n例3 从某鱼池中取100条鱼, 做上记号后再放入该鱼池中. 现从该池中任意捉来40条鱼, 发现其中两条有记号, 问池内大约有多少条鱼?
概率的性质
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例4 已知P(A)?0.5, P(AB)?0.2, P(B)?0.4, 求
(1) P(AB); (2) P(A?B); (3) P(A?B); (4) P(AB).
例5 观察某地区未来5天的天气情况, 记Ai为事件: “有i天不下雨”, 已知
P(Ai)?iP(A0), i?1,2,3,4,5. 求下列各事件的概率:
(1) 天均下雨; (2) 至少一天不下雨; (2) 至少一天不下雨;
例6 某城市中发行2种报纸A, B. 经调查, 在这2种报纸的订户中, 订阅A报的有45%,订阅B报的有35%, 同时订阅2种报纸A, B的有10%. 求只订一种报纸的概率a. 讲解注意： 思考题
1.设AB??, P(A)?0.6, P(A?B)?0.8, 求事件B的逆事件的概率.
2.设P(A)?0.4, P(B)?0.3, P(A?B)?0.6, 求P(A?B).
3.设A,B都出现的概率与A,B都不出现的概率相等, 且P(A)?p, 求P(B).
第三节 古典概型与几何概型
引例 一个纸桶中装有10个大小、形状完全相同的球. 将球编号为1—10.把球搅匀, 蒙上眼睛从中任取一球. 因为抽取时这些球被抽到的可能性是完全平等的, 所以我们没有理由认为这10个球中的某一个会比另一个更容易抽得, 也就是说,这10个球中的任一个被抽取的可
1. 10这样一类随机试验是一类最简单的概率模型, 它曾经是概率论发展初期主要的研究对象. 一、古典概型
我们称具有下列两个特征的随机试验模型为古典概型。1. 随机试验只有有限个可能的结果; 2. 每一个结果发生的可能性大小相同.。因而古典概型又称为等可能概型.在概率论的产生和发展过参程中，它是最早的研究对象，且在实际中也最常用的一种概率模型。它在数学上可表述为：在古典概型的假设下,我们来推导事件概率的计算公式. 设事件A包含其样本空间S能性均为
中k个基本事件, 即A?{ei}?{ei}???{ei},则事件A发生的概率
12kP(A)?P(?ei)??P(ei)?jkkj?1j?1jkA包含的基本事件数?.称此概率为古典概率.这种确定概率的nS中基本事件的总数方法称为古典方法. 这就把求古典概率的问题转化为对基本事件的计数问题. 二、 计算古典概率的方法 基本计数原理：
1. 加法原理：设完成一件事有m种方式,其中第一种方式有n1种方法，第二种方式有n2种方法，……,第m种方式有nm种方法，无论通过哪种方法都可以完成这件事,则完成这件事的方法总数为n1?n2???nm.
2. 乘法原理：设完成一件事有m个步骤,其中第一个步骤有n1种方法，第二个步骤有n2种方法，……，第m个步骤有nm种方法；完成该件事必须通过每一步骤才算完成，则完成这件事的方法总数为 n1?n2???nm.
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