（1）如果共取10次，求10次中能取到黑球的概率及10次中恰好取到3次黑球的概率. （2）如果未取到黑球就一直去下去，直到取到黑球为止，求恰好要取3次黑球的概率. 例10 一辆飞机场的交通车载有25名乘客途经9个站，每位乘客都等可能在这9站中任意一站下车（且不受其他乘客下车与否的影响），交通车只在有乘客下车时才停车，求交通车在第i站停车的概率以及在第i站不停车的条件下第j站的概率，并判断“第i站停车”与“第j站停车”两个事件是否独立.
例11 某型号高炮,每门炮发射一发炮弹击中飞机的概率为0.6,现若干门炮同时各射一发, (1)问:欲以99%的把握击中一架来犯的敌机至少需配置几门炮? (2)现有3门炮,欲以99%的把握击中一架来犯的敌机,问:每门炮的命中率应提高到多少?
思考题：1. 某工人一天出废品的概率为0.2, 求在4天中:
(1)都不出废品的概率; (2)至少有一天出废品的概率; (3)仅有一天出废品的概率; (4)最多有一天出废品的概率; (5)第一天出废品, 其余各天不出废品的概率.
第二章 随机变量及其分布
在随机试验中，人们除对某些特定事件发生的概率感兴趣外，往往还关心某个与随机试验的结果相联系的变量. 由于这一变量的取值依赖于随机试验结果，因而被称为随机变量. 与普通的变量不同，对于随机变量，人们无法事先预知其确切取值，但可以研究其取值的统计规律性. 本章将介绍两类随机变量及描述随机变量统计规律性的分布. 【教学目的与要求】
通过学习，使学生了解随机变量的概念；理解分布函数的概念和性质；掌握离散型随机变量和连续型随机变量的描述方法；理解分布律与概率密度的概念和性质。熟练掌握二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布和正态分布；会利用概率分布计算有关事件的概率。会求简单的随机变量函数的概率分布； 【教学重点】
离散型随机变量的分布律与连续型随机变量的概率密度的概念和性质；二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布和正态分布；随机变量的函数的分布。 【教学难点】
连续型随机变量函数的分布； 【计划课时】7 【教学内容】
第一节 随机变量的概念
一、随机变量概念的引入
为全面研究随机试验的结果, 揭示随机现象的统计规律性, 需将随机试验的结果数量化，即把随机试验的结果与实数对应起来.1.在有些随机试验中, 试验的结果本身就由数量来表示. 2.在另一些随机试验中, 试验结果看起来与数量无关,但可以指定一个数量来表示之.
二、随机变量的定义
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定义：设随机试验的样本空间为S, 称定义在样本空间S上的实值单值函数X?X(e)为随机变量.
随机变量与高等数学中函数的比较:
(1)都是实值函数,但前者在试验前只知道它可能取值的范围,而不能预先肯定它将取哪个值; (2) 试验结果的出现有一定的概率,故前者取每个值和每个确定范围内的值也有一定的概率.
三、引入随机变量的意义
随机变量的引入,使得随机试验中的各种事件可通过随机变量的关系式表达出来. 由此可见,随机事件这个概念实际上是包容在随机变量这个更广的概念内.也可以说,随机事件是从静态的观点来研究随机现象,而随机变量则以动态的观点来研究之.其关系类似高等数学中常量与变量的关系. 随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件. 引入随机变量后,对随机现象统计规律的研究,就由对事件及事件概率的研究转化为随机变量及其取值规律的研究,使人们可利用数学分析的方法对随机试验的结果进行广泛而深入的研究.
随机变量因其取值方式不同, 通常分为离散型和非离散型两类. 而非非离散型随机变量中最重要的是连续型随机变量. 今后，我们主要讨论离散型随机变量和连续型随机变量.
例题选讲：
例1 在抛掷一枚硬币进行打赌时, 若规定出现正面时抛掷者赢1元钱, 出现反面时输1元钱, 则其样本空间为S?{正面, 反面},记赢钱数为随机变量X, 则X作为样本空间S的实值函?1,e?正面,数定义为X(e)??
?1,e?反面.?例2在将一枚硬币抛掷三次, 观察正面H、反面T出现情况的试验中, 其样本空间
S?{HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT};记每次试验出现正面H的总次数为随机变量X, 则X作为样本空间S上的函数定义为
eHHHHHTHTHTHHHTTTHTTTHTTT
X32221110易见, 使X取值为2({X?2})的样本点构成的子集为A?{HHT,HTH,THH},故 P{X?2}?P(A)?3/8,类似地，有P{X?1}?P{HTT,THT,TTH,TTT}?4/8.
例3 在测试灯泡寿命的试验中, 每一个灯泡的实际使用寿命可能是[0,??)中任何一个实数, 若用X表示灯泡的寿命（小时），则X是定义在样本空间S?{t|t?0}上的函数，即X?X(t)?t，是随机变量.
思考题：. 一报童卖报, 每份0.15元,其成本为0.10元. 报馆每天给报童1000份报, 并规定他不得把卖不出的报纸退回. 设X为报童每天卖出的报纸份数, 试将报童赔钱这一事件用随机变量的表达式表示.
第二节 离散型随机变量及其分布函数
一、离散型随机变量及其概率分布
定义 设离散型随机变量X的所有可能取值为xi(i?1,2,?), 称P{X?xi}?pi,i?1,2,? 为X的概率分布或分布律, 也称概率函数.
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常用表格形式来表示X的概率分布:
Xpix1p1x2?xn?p2?pn?
二、常用离散分布
退化分布 两点分布 n个点上的均匀分布 二项分布 几何分布 超几何分布
泊松分布：泊松分布是概率论中最重要的几个分布之一. 实际问题中许多随机现象都服从或近似服从泊松分布. 三、二项分布的泊松近似
定理1 (泊松定理) 在n重伯努利试验中, 事件A在每次试验中发生的概率为pn(注意这与试验的次数n有关), 如果n??时, npn??(??0为常数), 则对任意给定的k, 有
limb(k,n,pn)??kk!n??e??.
例题选讲：
离散型随机变量及其概率分布
例1某篮球运动员投中篮圈的概率是0.9, 求他两次独立投篮投中次数X的概率分布. 例2设随机变量X的概率分布为:P{X?K}?a?kk!,k?0,1,2,?,??0.确定常数a.
二项分布
例3 已知100个产品中有5个次品, 现从中有放回地取3次, 每次任取1个, 求在所取的3个中恰有2个次品的概率.
例4某人进行射击, 每次射击的命中率为0.02, 独立射击400次, 试求至少击中两次的概率. 例5有80台同类型设备, 各台工作是相互独立的,发生故障的概率都是0.01, 且一台设备的故障能由一个人处理. 考虑两种配备维修工人的方法, 其一由4人维护, 每人负责20台; 其二由3人共同维护80台. 试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小. 几何分布
例6某射手连续向一目标射击, 直到命中为止, 已知他每发命中的概率是p, 求所需射击发数X的概率分布. 泊松分布
例7某一城市每天发生火灾的次数X服从参数??0.8的泊松分布, 求该城市一天内发生3次或3次以上火灾的概率. 二项分布的泊松近似
例8某公司生产的一种产品300件. 根据历史生产记录知废品率为0.01. 问现在这300件产品经检验废品数大于5的概率是多少?
例9一家商店采用科学管理,由该商店过去的销售记录知道, 某种商品每月的销售数可以用参数??5的泊松分布来描述, 为了以95%以上的把握保证不脱销, 问商店在月底至少应进某种商品多少件?
例10自1875年至1955年中的某63年间, 上海市夏季(5—9月)共发生大暴雨180次, 试建立上海市夏季暴雨发生次数的概率分布模型. 思考题
1.某类灯泡使用时数在1000小时以上的概率是0.2, 求三个灯泡在使用1000小时以后最多只有一个坏了的概率.
2.一汽车沿一街道行驶, 需要通过三个均设有红绿信号灯的路口, 每个信号灯为红或绿与其它信号灯为红或绿相互独立, 且红绿两种信号灯显示的时间相等. 以X表示该汽车首次遇
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到红灯前已通过的路口的个数, 求X的概率分布.
第三节 随机变量的分布函数
要描述一个随机变量时，不仅要说明它能够取哪些值，而且还要指出它取这些值的概率. 只有这样，才能真正完整地刻画一个随机变量, 为此，我们引入随机变量的分布函数的概念. 一. 随机变量的分布函数
定义 设X是一个随机变量, 称F(x)?P(X?x)(???x???)为X的分布函数.有时记作X~F(x)或FX(x).
分布函数的性质：1. 单调非减. 若x1?x2, 则F(x1)?F(x2)；
2. F(??)?limF(x)?0,F(??)?limF(x)?1; 3. 右连续性. 即limF(x)?F(x0).
x???x????x?x0二、离散型随机变量的分布函数 设离散型随机变量X的概率分布为
Xpixi?xx1p1x2?xn?p2?pn?xi?x
则X的分布函数为F(x)?P(X?x)??P(X?xi)??pi.
例题选讲：
随机变量的分布函数
例1等可能地在数轴上的有界区间[a,b]上投点, 记X为落点的位置(数轴上的坐标) , 求随机变量X的分布函数.
?0,x??2,?(1)F(x)??1/2,?2?x?0,?1,x?0;??0,x?0,?例2判别下列函数是否为某随机变量的分布函数(2)F(x)??sinx,0?x??,
?1,x??;??0,x?0,?(3)F(x)??x?1/2,0?x?1/2,?1,x?1/2.?离散型随机变量的分布函数
X012, 求F(x). 例3设
pi1/31/61/2例4 X具有离散均匀分布, 即P(X?xi)?1/n,i?1,2,?,n,求X的分布函数. x?1,?0,?9/19,1?x?2,?例5设随机变量X的分布函数为F(x)??求X的概率分布.
15/19,2?x?3,??x?3.?1,思考题
X?1241．设随机变量X的概率分布为,求X的的分布函数。
pi1/41/21/4
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第四节 连续型随机变量及其概率密度
一、 连续型随机变量及其概率密度
定义 如果对随机变量X的分布函数F(x),存在非负可积函数f(x),使得对于任意实数x有 F(x)?P{X?x}??x??f(t)dt.则称X为连续型随机变量, 称f(x)为X的概率密度函数,简称
为概率密度或密度函数.
关于概率密度的说明：1. 对一个连续型随机变量X,若已知其密度函数f(x),则根据定义,可求得其分布函数F(x), 同时, 还可求得X的取值落在任意区间(a,b]上的概率:
P{a?X?b}?F(b)?F(a)??f(x)dx；2. 连续型随机变量X取任一指定值a(a?R)的概率
ab为0；3. 若f(x)在点x处连续, 则F?(x)?f(x) (1)
二、常用连续型分布 均匀分布
?1,a?x?b?定义 若连续型随机变量X的概率密度为f(x)??b?a则称X在区间(a,b)上服
?0,其它?从均匀分布, 记为X~U(a,b).
指数分布
??e??x,x?0,??0则称X服从参数为?的指定义 若随机变量X的概率密度为f(x)??0,其它.?数分布.简记为X~e(?).
正态分布
定义 若随机变量X的概率密度为f(x)??1e2??(x??)22?2,???x??.
其中?和?(??0)都是常数, 则称X服从参数为?和?2的正态分布. 记为X~N(?,?2). 注: 正态分布是概率中最重要的连续型分布, 19世纪前叶由高斯加以推广, 又称高斯分布. 一般来说，一个随机变量如果受到许多随机因素的影响，而其中每一个因素都不起主导作用（作用微小），则它服从正态分布. 这是正态分布在实践中得以广泛应用的原因. 例如, 产品的质量指标, 元件的尺寸, 某地区成年男子的身高、体重, 测量误差, 射击目标的水平或垂直偏差, 信号噪声、农作物的产量等等, 都服从或近似服从正态分布. 标准正态分布
正态分布当??0,??1时称为标准正态分布, 此时, 其密度函数和分布函数常用?(x)和?(x)表示:?(x)?1?2e, ?(x)?2?x212??x??edt标准正态分布的重要性在于, 任何一
?t22个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布. 定理 设X~N(?,?2),则Y?X???~N(0,1).
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