二维离散型随机变量及其概率分布
例2设随机变量X在1, 2, 3, 4四个整数中等可能地取一个值，另一个随机变量Y在1~X中等可能地取一整数值，试求(x,y)的分布律.
例3把一枚均匀硬币抛掷三次, 设X为三次抛掷中正面出现的次数, 而Y为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值, 求(X,Y)的概率分布及(X,Y)关于X,Y的边缘分布. 例4 设二维随机变量的联合概率分布为 Y X ?2 0 0.1 0.2 0 1 0.1 0 0.05 0.3 ?1 1 0.05 2 0.2 求P{X?1,Y?0}及F(0,0). 二维连续型随机变量及其概率密度
例5 (X,Y)的概率分布由表3—1B给出，求 P{X?0,Y?0},P{X?0,Y?0} P{XY?0},P{X?Y},P{|X|?|y|}. 表3—1B
Y 0 2 ?1 X 0 0.1 0.2 0 1 0.2 0.05 0.1 2 0.15 0 0.1 例6 一整数N等可能地在1,2,3,?,10十值中取一个值. 设D?D(N)是能整除N的正整数的个数，F?F(N)是能整除N的素数的个数（注意1不是素数）. 试写出D和F的联合分布律.并求分布律.
?(2x?y)?,?2e例7设二维随机变量(X,Y)具有概率密度f(x,y)????0,x?0,y?0,其它.
(1) 求分布函数F(x,y); (2) 求概率P{Y?X}.
?cy(2?x),0?x?1,0?y?x例8设(X,Y)的概率密度是f(x,y)??
0,其它?求 (1) c的值; (2) 两个边缘密度.
二维均匀分布
?6,x2?y?x例9 设随机变量X和Y具有联合概率密度f(x,y)??
0,其它?求边缘概率密度fX(x),fY(y).
例10设(X,Y)服从单位圆域x2?y2?1上的均匀分布, 求X和Y的边缘概率密度. 二维正态分布
1?2(x2?y2)e(1?sinxsiny)试求关于X,Y例11设二维随机变量(X,Y)的概率密度f(x,y)?2?的边缘概率密度函数.
1思考题
1.将两封信随意地投入3个邮筒, 设X,Y分别表示投入第1, 2号邮筒中信的数目, 求X和Y的联合概率分布及边缘概率分布.
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?kxy,0?x?1,0?y?12.设向量(X,Y)的密度函数f(x,y)的密度函数为f(x,y)??
0,其它?求 (1) 参数k的值；（2）(X,Y)的边缘密度.
第二节 条件分布与随机变量的独立性
一、 条件分布的概念
设X是一个随机变量, 其分布函数为FX(x)?P{X?x},???x???,若另外有一事件A已经发生, 并且A的发生可能会对事件{X?x}发生的概率产生影响, 则对任一给定的实数x, 记F(x|A)?P{X?x|A},???x???,称F(x|A)为在A发生的条件下, X的条件分布函数. 二、 随机变量的独立性
设A是随机变量Y所生成的事件: A?{Y?y}, 且P{Y?y}?0, 则有
P{X?x,Y?y}F(x,y).一般地, 由于随机变量X,Y之间存在相互联系,因而F(x|Y?y)??P{Y?y}FY(y)一个随机变量的取值可能会影响另一个随机变量的取值统计规律性. 在何种情况下, 随机变
量X,Y之间没有上述影响, 而具有所谓的“独立性”, 我们引入如下定义.
定义 设随机变量(X,Y)的联合分布函数为F(x,y), 边缘分布函数为FX(x),FY(y), 若对任意实数x,y,有P{X?x,Y?y}?P{X?x}P{Y?y},即F(x,y)?FX(x)FY(y),则称随机变量X和Y相互独立.
关于随机变量的独立性, 有下列两个定理.
定理1 随机变量X与Y相互独立的充要条件是X所生成的任何事件与Y生成的任何事件独立, 即, 对任意实数集A,B, 有P{X?A,Y?B}?P{X?A}P{Y?B},
定理2如随机变量X与Y相互独立, 则对任意函数g1(x),g2(y)均有g1(X),g2(Y)相互独立. 三、离散型随机变量的条件分布与独立性
设(X,Y)是二维离散型随机变量, 其概率分布为P{X?xi,Y?yj}?pij,i,j?1,2,? 由条件概率公式, 当P{Y?yj}?0, 有P{X?xi|Y?yj}?P{X?xi,Y?yj}P{Y?yj}?pijp?j,i?1,2,?
称其为在Y?yj条件下随机变量X的条件概率分布.
对离散型随机变量(X,Y), 其独立性的定义等价于:若对(X,Y)的所有可能取值(xi,xj), 有 P{X?xi,Y?yj}?P{X?xi}P{Y?yj}即pij?pi?p?j,i,j?1,2,?则称X和Y相互独立.
四、 连续型随机变量的条件密度与独立性
定义 设二维连续型随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y),边缘概率密度为fX(x),fY(y), 则对一切使fX(x)?0的x, 定义在X?x的条件下Y的条件概率密度为fY|X(y|x)?f(x,y). fX(x) 22
对一切使fY(y)?0的y, 定义在Y?y的条件下X的条件密度函数为fX|Y(x|y)?注: 关于定义表达式内涵的解释. 以fX|Y(x|y)?以(dxdy)/dy即得fX|Y(x|y)dx?f(x,y). fY(y)f(x,y)为例. 在上式左边乘以dx, 右边乘fY(y)f(x,y)dxdyP{x?X?x?dx,y?Y?y?dy} ?fY(y)dyP{y?Y?y?dy} ?P{x?X?x?dx|y?Y?y?dy}.
换句话说, 对很小的dx和dy,fX|Y(x|y)dx表示已知Y取值于y和y?dy之间的条件下, X取值于x和x?dx之间的条件概率.
对二维连续型随机变量(X,Y), 其独立性的定义等价于:
若对任意的x,y, 有f(x,y)?fX(x)fY(y)几乎处处成立, 则称X,Y相互独立. 注: 这里“几乎处处成立”的含义是:在平面上除去面积为0的集合外,处处成立.
例题选讲：
条件分布的概念
例1设X服从[0,1]上的均匀分布, 求在已知X?随机变量的独立性
例2设X与Y的联合概率分布为 Y X 0 1 2 1的条件下X的条件分布函数. 2?1 0.1 0.3 0.15 0 0.2 0.05 0 2 0 0.1 0.1
(1) 求Y?0时, X的条件概率分布以及X?0时, Y的条件概率分布; (2)判断X与Y是否相互独立?
例3设随机变量X与Y相互独立, 下表列出了二维随机变量(X,Y)联合分布律及关于X和关于Y的边缘分布律中的部分数值, 试将其余数值填入表中的空白处. Y y1 y2 y3 P{X?xi}?Pi X x1 1/8 x2 P{y?yj}?pj 1/8 1/6 1 例4 一射手进行射击,击中目标的概率为p,(0?p?1), 射击进行到击中目标两次为止. 以X表示首次击中目标所进行射击次数, 以Y表示总共进行的射击次数. 试求X和Y的联合分布及条件分布.
连续型随机变量的条件密度与独立性
?(x?y)?,x?0,y?0?xe例5设(X,Y)的概率密度为f(x,y)??;问X和Y是否独立?
?0,其它? 23
?1/?,x2?y2?1，例6设(X,Y)服从单位圆上的均匀分布，概率密度为 f(x,y)??
0,其它.?求fY|X(y|x).
2,?12;?),(1) 求fX|Y(x|y) 和 fY|X(y|x). 例7设(X,Y)~N(?1,?2;?2 (2) 证明X与Y相互独立的充要条件是??0.
例8甲乙两人约定中午12时30分在某地会面. 如果甲来到的时间在12:15到12:45之间是
均匀分布. 乙独立地到达, 而且到达时间在12:00到13:00之间是均匀分布. 试求先到的人等待另一人到达的时间不超过5分钟的概率. 又甲先到的概率是多少?
例9 设数X在区间(0,1)均匀分布，当观察到X?x(0?x?1)时，数Y在区间(x,1)上等可能随机地取值.求Y的概率密度.
例10 设店主在每日开门营业时，放在柜台上的货物量为Y，当日销售量为X假定一天中不再上柜台上补充货物，于是X?Y. 根据历史资料，(X,Y)的概率密度函数为?1/200,当0?x?y,0?y?20时，f(x,y)??即(X,Y)服从直角三角形区域OAB上的均匀
0,其它.?分布, 见图3—2A. 求(1) 给定Y?y条件下,X的条件分布.(2)假定某日开门时,Y?10件,
求这天顾客买走X?5件的概率. 如果Y?20件呢?
?y??e,0?x?y;例11设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)??
?其它.?0,(1) 求X与Y的边际概率密度, 并判断X与Y是否相互独立;
(2) 求在Y?y的条件下, X的条件概率密度;
(3) 求概率P{X?2Y?1},P?0?X?1/2|Y?1?P?X?2|Y?4?.
思考题
1. 设(X,Y)的分布律如下 Y 1 2 3 X 1 1/6 1/9 1/18 2 1/3 ? ? 问?,?为何值时, X与Y相互独立.
?e?x/ye?y,0?x???,0?y????2. 设(X,Y)的概率密度是f(x,y)??求P{X?1|Y?y}. y?0,其它?
0?x?1,0?y?1?4xy,3.设f(x,y)??，试判断X与Y是否相互独立.
0,其它?
第三节 多维随机变量函数的分布
在实际应用中，有些随机变量往往是两个或两个以上随机变量的函数. 例如，考虑全国年龄在40岁以上的人群，用X和Y分别表示一个人的年龄和体重，Z表示这个人的血压，并且已知Z与X，Y的函数关系式Z?g(X,Y),现希望通过(X,Y)的分布来确定Z的分布. 此类问题就是我们将要讨论的两个随机向量函数的分布问题.
在本节中，我们重点讨论两种特殊的函数关系: (i) Z?X?Y; (ii) Z?max{X,Y}和
24
Z?min{X,Y}，其中X与Y相互独立.
注：应指出的是，将两个随机变量函数的分布问题推广到n个随机变量函数的分布问题只是表述和计算的繁杂程度的提高，并没有本质性的差异. 一、 离散型随机变量的函数的分布
设(X,Y)是二维离散型随机变量, g(x,y)是一个二元函数, 则g(X,Y)作为(X,Y)的函数是一个随机变量, 如果(X,Y)的概率分布为P{X?xi,Y?yj}?pij的所有可能取值为zk,k?1,2,?, 则Z的概率分布为 P{Z?zk}?P{g(X,Y)?zk}?(i,j?1,2,?)设Z?g(X,Y)g(xi,yj)?zk?P{X?x,Y?y}, k?1,2,?,
ij二、 连续型随机变量的函数的分布
设(X,Y)是二维连续型随机向量, 其概率密度函数为f(x,y), 令g(x,y)为一个二元函数, 则g(X,Y)是(X,Y)的函数. 可用类似于求一元随机变量函数分布的方法来求Z?g(X,Y)的分布.a) 求分布函数FZ(z),FZ(z)?P{Z?z}?P{g(X,Y)?z}?P{(X,Y)?DZ}???f(x,y)dxdy.
DZ?(z). 其中, DZ?{(x,y)|g(x,y)?z}.b) 求其概率密度函数fZ(z), 对几乎所有z, 有fZ(z)?FZ定理1 设(X1,X2)是具有密度函数f(x1,x2)的连续型随机向量.(1) 设y1?g1(x1,x2),y2?g2(x1,x2)是R2到自身的一一映射, 即存在定义在该变换的值域上的逆变
换:x1?h1(y1,y2),x2?h2(y1,y2);(2) 假设变换和它的逆都是连续的;(3) 假设偏导数?h1?hi?y(i?1,2,j?1,2)存在且连续;(4) 假设逆变换的雅可比行列式J(y1,y2)?1?h2?yi?y1?h1?y2?0, ?h2?y2即J(y1,y2)对于在变换的值域中的(y1,y2)是不为0的. 则Y1,Y2具有联合密度 w(y1,y2)?|J|f(h1(y1,y2),h2(y1,y2)).
2). 则Z?X?Y仍然服从正态分定理2 设X,Y相互独立，且X~N(?1,?12), Y~N(?2,?22).更一般地，可以证明：有限个相互独立的正态随机变量的线布，且Z~N(?1??2,?12??2性组合仍然服从正态分布, 即有
定理3 若Xi~N(?i,?i2)(i?1,2,?,n),且它们相互独立，则对任意不全为零的常数
n?n2??a?,a?a1,a2,?,an，有?aiXi~N???ii?ii?.
i?1i?1?i?1?n 三、 M?max(X,Y)及N?min(X,Y)的分布
设随机变量X,Y相互独立,其分布函数分别为FX(x)和FY(y), 由于M?max(X,Y)不大于z
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