等价于X和Y都不大于z, 故有
FM(z)?P{M?z}?P{X?z,Y?z}?P{X?z}P{Y?z}?FX(z)FY(z);
类似地, 可得N?min(X,Y)的分布函数
FN(z)?P{N?z}?1?P{N?z}?1?P{X?z,Y?z}?1?P{X?z}P{Y?z}?1?[1?FX(z)][1?FY(z)].
例题选讲：
离散型随机变量的函数的分布
例1设随机变量(X,Y)的概率分布如下表 Y 0 1 ?1 X 0.2 0.15 0.1 ?1 2 0.1 0 0.1 求二维随机变量的函数Z的分布: (1)Z?X?Y;2 0.3 0.05 (2)Z?XY.
例2设X和Y相互独立, X~b(n1,p),Y~b(n2,p), 求Z?X?Y的分布.
例3 (若X和Y相互独立, 它们分别服从参数为?1,?2的泊松分布, 证明Z?X?Y服从参数为?1??2的泊松分布.
连续型随机变量的函数的分布
例4设随机变量X与Y相互独立, 且同服从[0,1]上的均匀分布, 试求Z?|X?Y|的分布函数与密度函数.
例5 设(X1,X2)的密度函数为f(x1,x2). 令Y1?X1?X2,Y2?X1?X2试用f表示Y1和Y2的联合密度函数.
和的分布：设X和Y的联合密度为f(x,y), 求Z?X?Y的密度.
卷积公式: 当X和Y独立时, 设(X,Y)关于X,Y的边缘密度分别为fX(x),fY(y), 则上述两式化为
fZ(z)??fX(z?y)fY(y)dy????以上两个公式称为卷积公式.
fZ(z)??fX(x)fY(z?x)dx??例6设X和Y是两个相互独立的随机变量. 它们都服从N(0,1)分布, 其概率密度为 fX(x)?fY(y)?12?12?e?xe2/2,???x??,?y2/2求Z?X?Y的概率密度.
,???y??.?x??xe,当x?0时,例7设某种商品一周的需要量是一个随机变量, 其概率密度函数为f(x)??
?其它.?0,如果各周的需要量相互独立, 求两周需要量的概率密度函数.
例8 设X与Y相互独立, 且均在区间[0,1]上服从均匀分布, 求Z?X?Y的密度函数. 例9设X1,X2相互独立且分别服从参数为?1,?;?2,?的?分布(分别记成X1~?(?1,?),X2~?(?2,?),X1,X2的概率密度分别为
?11??1?1?x/?,x?0y?2?1e?y/?,y?0???(?)xe??2fX1(x)???11 fX2(y)????(?2)
??0,其它0,其它??试证明X1?X2服从参数为?1??2,?的?分布.
X商的分布：设二维随机向量(X,Y)的密度函数为f(x,y), 求Z?的密度函数.
Y
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例10 在一简单电路中, 两电阻R1和R2串联连接, 设R1,R2相互独立,它们的概率密度均
?10?x?,0?x?10为 f(x)??50求总电阻R?R1?R2的概率密度.
?其它.?0,例11设X与Y相互独立, 它们都服从参数为?的指数分布. 求Z?X的密度函数. Y
积的分布： 设(X1,X2)具有密度函数f(x1,x2), 则Y?X1X2的概率密度为
??y?1 fY(y)??f?z,?dz.
???z?|z|例12设二维随机向量(X,Y)在矩形G?{(x,y)|0?x?2,0?y?1}上服从均匀分布, 试求边长为X和Y的矩形面积S的密度函数f(s).
例13设随机变量X1,X2独立, 且有相同的几何分布:P{Xi?k}?pqk?1,k?1,2,?,i?1,2，q?1?p求Y?max(X1,X2)的分布.
例14设系统L由两个相互独立的子系统L1,L2联接而成，联接方式分别为串联、并联、备用（当系统L1损坏时，系统L2开始工作），如图3—3—6所示. 设L1,L2的寿命分别为X,Y, ??e??x,x?0,??e??y,y?0,已知它们的概率密度分别为fX(x)?? fY(y)??其中
0,x?0,0,y?0,????0,??0且???. 试分别就以上三种联接方式写出L寿命Z的概率密度.
思考题
1.已知(X,Y)的分布律为 0 X 0 0.10 1 0.15 Y1 0.25 0.20 2 0.15 0.15 求:（1）Z?X?Y;（2）Z?XY;（3）Z?sin????X?Y???;（4）Z?max{X,Y}分布律. 2???1,0?x?12. 若X和Y独立, 具有共同的概率密度f(x)??求Z?X?Y的概率密度.
0,其它?
第四章 随机变量的数字特征
前面讨论了随机变量的分布函数, 从中知道随机变量的分布函数能完整地描述随机变量的统计规律性.但在许多实际问题中, 人们并不需要去全面考察随机变量的变化情况, 而只要知道它的某些数字特征即可.例如, 在评价某地区粮食产量的水平时, 通常只要知道该地区粮食的平均产量;又如, 在评价一批棉花的质量时, 既要注意纤维的平均长度, 又要注意纤维长度与平均长度之间的偏离程度, 平均长度较大, 偏离程度小, 则质量就较好. 等等
实际上, 描述随机变量的平均值和偏离程度的某些数字特征在理论和实践上都具有重要的意义, 它们能更直接、更简洁更清晰和更实用地反映出随机变量的本质.
本章将要讨论的随机变量的常用数字特征包括: 数学期望、方差、相关系数、矩. 【教学目的与要求】
通过学习，使学生理解数学期望、方差的概念，掌握它们的性质与计算；会计算随机变量函数的数学期望。熟记二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布和正态分布的数学期
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望与方差。了解协方差与相关系数的概念并掌握它的性质与计算。了解矩的概念。 【教学重点】
数学期望、方差、协方差、相关系数的概念、性质和计算。 【教学难点】
相关系数
【计划课时】5 【教学内容】
第一节 数学期望
一、离散型随机变量的数学期望
平均值是日常生活中最常用的一个数字特征, 它对评判事物、作出决策等具有重要作用. 定义 设X是离散型随机变量的概率分布为P{X?xi}?pi,i?1,2,?如果
??xpi?1?ii绝对收敛,
则定义X的数学期望(又称均值)为 E(X)??xipi.
i?1二、连续型随机变量的数学期望
定义 设X是连续型随机变量, 其密度函数为f(x),如果学期望为 E(X)?????xf(x)dx绝对收敛, 定义X的数
????xf(x)dx.
三、 随机变量函数的数学期望
设X是一随机变量, g(x)为一实函数,则Y?g(X)也是一随机变量, 理论上, 虽然可通过X的分布求出g(X)的分布, 再按定义求出g(X)的数学期望E[g(X)]. 但这种求法一般比较复杂. 下面不加证明地引入有关计算随机变量函数的数学期望的定理. 定理1 设X是一个随机变量, Y?g(X),且E(Y)存在, 则（1） 若X为离散型随机变量, 其概率分布为P{X?xi}?pi,i?1,2,?则Y的数学期望为E(Y)?E[g(X)]??g(xi)pi.（2） 若
i?1?X为连续型随机变量, 其概率密度为f(x), 则Y的数学期望为
E(Y)?E[g(X)]??g(x)f(x)dx.
???注: (i)定理的重要性在于:求E[g(X)]时, 不必知道g(X)的分布, 只需知道X的分布即可. 这给求随机变量函数的数学期望带来很大方便;(ii) 上述定理可推广到二维以上的情形, 即 定理2 设(X,Y)是二维随机向量, Z?g(X,Y),且E(Z)存在, 则（1）若(X,Y)为离散型随机向量, 其概率分布为P{X?xi,Y?yj}?pij(i,j?1,2,?)则Z的数学期望为
E(Z)?E[g(X,Y)]???g(xi,yj)pij（,2）若(X,Y)为连续型随机向量, 其概率密度为f(x,y)j?1i?1??则Z的数学期望为E(Z)?E[g(X,Y)]?????????g(x,y)f(x,y)dx.
四、数学期望的性质1. 设C是常数, 则E(C)?C; 2．若k是常数，则E(kX)?kE(X);
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3. E(X1?X2)?E(X1)?E(X2);4. 设X,Y独立, 则E(XY)?E(X)E(Y);
注: (i) 由E(XY)?E(X)E(Y)不一定能推出X,Y独立，例如，在例10中，已计算得
931，但 P{X?1,Y?0}?0,P{X?1?},P{Y?0}?，显 448P{X?1,Y?0}?P{X?1}?P{Y?0}故X与Y不独立 E(XY)?E(X)E(Y)?(ii) 这个性质可推广到有限个随机变量之和的情形. 例题选讲：
离散型随机变量的数学期望
例1甲, 乙两人进行打靶, 所得分数分别记为X1,X2, 它们的分布律分别为
X1pi0,00.20.8pi12X20120.60.30.1试评定他们的成绩的好坏.
例2某种产品的每件表面上的疵点数服从参数??0.8的泊松分布, 若规定疵点数不超过1个为一等品, 价值10元; 疵点数大于1个不多于4个为二等品, 价值8元; 疵点数超过4个为废品. 求(1) 产品的废品率;(2) 产品价值的平均值.
例3 按规定，某车站每天8:00~9:00和9:00~10:00之间都恰有一辆客车到站, 但到站的时刻是随机的, 且两者到站的时间相互独立. 其规律为
8:00~9:00到站时间 8:10 8:30 8:50 一旅客8:20到车站, 求他候车时间的
9:10 9:30 9:50 9:00~10:00到站时间 数学期望. 1/6 3/6 2/6 概率
连续型随机变量的数学期望
?0,x?0?例4已知随机变量X的分布函数 F(x)??x/4,0?x?4, 求E(X).
?1,x?4?例5某商店对某种家用电器的销售采用先使用后付款的方式. 记使用寿命为X(以年计), 规
X?1,定:
一台付款1500元;一台付款2000元;一台付款3000元.设寿命X服从指数分布, 概率密度为
1X?2,X?3,2?X?3,一台付款2500元;?1?x/10?e,x?0f?x???10试求该商店一台电器收费Y的数学期望.
?x?0.?0,例6设随机变量X~f(x),E(X)?布函数F(x).
例7 有2个相互独立工作的电子装置, 它们的寿命Xk(k?1,2) 服从统一指数分布,其概率?1?x/??e,x?0密度为f(x)???,??0.若将这2个电子装置串联联接组成整机, 求整机寿命
?x?0?0,(以小时计)N的数学期望.
随机变量函数的数学期望
例8 设(X,Y)的联合概率分布为，求E(X),E(Y),E(XY).
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?ax?b,7, 且f(x)??12?0,0?x?1其它求a与b的值, 并求分
Y 0 X 1 0 3 1/8 1 2 3 0 1/8 1?y?x,x?1,x 其它.3/8 3/8 0 0 例9设随机变量X在[0,?]上服从均匀分布, 求E(sinX),E(X2)及E[X?E(X)]2. ?3,?例10设随机变量(X,Y)的概率密度f(x,y)??2x3y2?0,??1?求数学期望E(Y),E??.
?XY?例11设某商店经营一种商品, 每周的进货量X和顾客对该种商品的需求量Y是两个相互独立的随机变量, 均服从[10,20]上的均匀分布. 此商店每售出一个单位的商品可获利1000元, 若需求量超过进货量, 可从其他商店调剂供应, 此时售出的每单位商品仅获利500元. 求此商店经销这种商品每周获利的期望.
例12 设E(X),E(X2)均存在，证明E[X?E(X)]2?E(X2)?[E(X)]2. 例13若X~b(n,p), 求E(X). 数学期望的性质
例14一民航送各车载有20位旅客自机场开出, 旅客有10个车站可以下车. 如到达一个车站没有旅客下车就不停车. 以X表示停车的次数, 求E(X) (设每位旅客在各个车站下车是等可能的, 并设各旅客是否下车相互独立).
思考题
1. 设甲、乙两人玩必分胜负的赌博游戏, 假定游戏的规则不公正, 以致两人获胜的概率不等,甲为p, 乙为q,p?q,p?q?1. 为了补偿乙的不利地位, 另行规定两人下的赌注不相等,
甲为a, 乙为b, a?b. 现在的问题是: a究竟应比b大多少, 才能做到公正?
2. 某种新药在400名病人中进行临床试验有一半人服用，一班人未服，经过5天后，有210人痊愈，其中190人是服了新药的.试用概率统计方法说明新药的疗效.
3. 把数字1,2,?,n任意地排成一列, 如果数字k恰好出现在第k个位置上, 则称为一个巧合, 求巧合个数的数学期望.
第二节 方差
随机变量的数学期望是对随机变量取值水平的综合评价, 而随机变量取值的稳定性是判断随机现象性质的另一个十分重要的指标. 一、 方差的定义
定义1 设X是一个随机变量, 若E[(X?E(X)]2存在,则称它为X的方差, 记为
D(X)?E[X?E(X)]2.方差的算术平方根D(X)称为标准差或均方差, 它与X具有相同的
度量单位, 在实际应用中经常使用.方差刻划了随机变量X的取值与数学期望的偏离程度,它的大小可以衡量随机变量取值的稳定性.从方差的定义易见:(1)若X的取值比较集中,则方差较小;(2)若X的取值比较分散,则方差较大;(3)若方差D(X)?0, 则随机变量X以概率1取常数值,此时X也就不是随机变量了. 二、 方差的计算
若X是离散型随机变量,且其概率分布为P{X?xi}?pi,i?1,2,?则
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