¸ÅÂÊÂÛÓëÊýÀíͳ¼Æ_½Ì°¸32¿Îʱ

µÄ.ÎÊ: ÿ¸öµçÓ°ÔºÖÁÉÙÓ¦ÉèÓжàÉÙ¸ö×ùλ, ²ÅÄܱ£Ö¤¹ÛÖÚÒòȱÉÙ×ùλ¶øÀëÈ¥µÄ¸ÅÂÊСÓÚ1%?

µÚÁùÕ ÊýÀíͳ¼ÆµÄ»ù±¾¸ÅÄî

¡¾½ÌѧĿµÄÓëÒªÇó¡¿

ͨ¹ýѧϰ£¬Ê¹Ñ§ÉúÀí½â×ÜÌå¡¢¸öÌå¡¢Ñù±¾ºÍͳ¼ÆÁ¿µÄ¸ÅÄÁ˽âÖ±·½Í¼µÄ×÷·¨£¬ÕÆÎÕ

2

Ñù±¾¾ùÖµºÍÑù±¾·½²îµÄ¼ÆËã¡£Àí½â¦Ö·Ö²¼¡¢t·Ö²¼¡¢F·Ö²¼µÄ¶¨Òå²¢»á²é±í¼ÆËã£»ÕÆÎÕÕý̬×ÜÌåµÄijЩ³£ÓÃͳ¼ÆÁ¿µÄ·Ö²¼¡£ ¡¾½ÌÑ§ÖØµã¡¿

×ÜÌå¡¢¸öÌå¡¢Ñù±¾ºÍͳ¼ÆÁ¿µÄ¸ÅÄ¦Ö·Ö²¼¡¢t·Ö²¼¡¢F·Ö²¼µÄ¶¨ÒåÒÔ¼°ËüÃÇÃܶȺ¯ÊýͼÐÎÉϵÄ?·Öλµã£»Õý̬×ÜÌåµÄ³£ÓÃͳ¼ÆÁ¿µÄ·Ö²¼¡£ ¡¾½ÌѧÄѵ㡿

¦Ö·Ö²¼¡¢t·Ö²¼¡¢F·Ö²¼ÃܶȺ¯ÊýͼÐÎÉϵÄ?·Öλµã¡£

2

2

¡¾¼Æ»®¿Îʱ¡¿2 ¡¾Ö÷ÒªÄÚÈÝ¡¿

´Ó±¾Õ¿ªÊ¼, ÎÒÃǽ«½²ÊöÊýÀíͳ¼ÆµÄ»ù±¾ÄÚÈÝ. ÊýÀíͳ¼Æ×÷ΪһÃÅѧ¿Æµ®ÉúÓÚ19ÊÀ¼ÍÄ©20ÊÀ¼Í³õ, ÊǾßÓй㷺ӦÓõÄÒ»¸öÊýѧ·ÖÖ§, ËüÒÔ¸ÅÂÊÂÛΪ»ù´¡, ¸ù¾ÝÊÔÑé»ò¹Û²ìµÃµ½µÄÊý¾Ý, À´Ñо¿Ëæ»úÏÖÏó, ÒÔ±ã¶ÔÑо¿¶ÔÏóµÄ¿Í¹Û¹æÂÉÐÔ×÷³öºÏÀíµÄ¹À¼ÆºÍÅжÏ.

ÓÉÓÚ´óÁ¿Ëæ»úÏÖÏó±ØÈ»³ÊÏÖ³öËüµÄ¹æÂÉÐÔ, ¹ÊÀíÂÛÉÏÖ»Òª¶ÔËæ»úÏÖÏó½øÐÐ×ã¹»¶à´Î¹Û²ì, ÔòÑо¿¶ÔÏóµÄ¹æÂÉÐÔ¾ÍÒ»¶¨ÄÜÇå³þµØ³ÊÏÖ³öÀ´, µ«Êµ¼ÊÉÏÈËÃdz£³£ÎÞ·¨¶ÔËùÑо¿µÄ¶ÔÏóµÄÈ«Ìå(»ò×ÜÌå) ½øÐй۲ì, ¶øÖ»ÄܳéÈ¡ÆäÖеIJ¿·Ö(»òÑù±¾) ½øÐй۲ì»òÊÔÑéÒÔ»ñµÃÓÐÏÞµÄÊý¾Ý.

ÊýÀíͳ¼ÆµÄÈÎÎñ°üÀ¨: ÔõÑùÓÐЧµØÊÕ¼¯¡¢ÕûÀíÓÐÏÞµÄÊý¾Ý×ÊÁÏ; ÔõÑù¶ÔËùµÃµÄÊý¾Ý×ÊÁϽøÐзÖÎö¡¢Ñо¿, ´Ó¶ø¶ÔÑо¿¶ÔÏóµÄÐÔÖÊ¡¢Ìصã, ×÷³öºÏÀíµÄÍÆ¶Ï, ´Ë¼´ËùνµÄͳ¼ÆÍƶÏÎÊÌâ, ±¾¿Î³ÌÖ÷Òª½²Êöͳ¼ÆÍƶϵĻù±¾ÄÚÈÝ.

µÚÒ»½Ú ÊýÀíͳ¼ÆµÄ»ù±¾¸ÅÄî

Ò»¡¢×ÜÌåÓë×ÜÌå·Ö²¼

×ÜÌåÊǾßÓÐÒ»¶¨¹²ÐÔµÄÑо¿¶ÔÏóµÄÈ«Ìå, Æä´óСÓë·¶Î§Ëæ¾ßÌåÑо¿Ó뿼²ìµÄÄ¿µÄ¶øÈ·¶¨. ÀýÈç, ¿¼²ìij´óѧһÄê¼¶ÐÂÉúµÄÌåÖØÇé¿ö, Ôò¸ÃУһÄê¼¶È«ÌåÐÂÉú¾Í¹¹³ÉÁË´ýÑо¿µÄ×ÜÌå. ×ÜÌåÈ·¶¨ºó, ÎÒÃdzÆ×ÜÌåµÄÿһ¸ö¿É¹Û²ìֵΪ¸öÌå. ÈçǰÊö×ÜÌå(Ò»Äê¼¶ÐÂÉú) ÖеÄÿһ¸ö¸öÌ弴Ϊÿ¸öÐÂÉúµÄÌåÖØ. ×ÜÌåÖÐËù°üº¬µÄ¸öÌåµÄ¸öÊý³ÆÎª×ÜÌåµÄÈÝÁ¿. ÈÝÁ¿ÎªÓÐÏ޵ijÆÎªÓÐÏÞ×ÜÌå, ÈÝÁ¿ÎªÎÞÏ޵ijÆÎªÎÞÏÞ×ÜÌå.

ÊýÀíͳ¼ÆÖÐËù¹ØÐĵIJ¢·Çÿ¸ö¸öÌåµÄËùÓÐÐÔÖÊ, ¶ø½ö½öÊÇËüµÄijһÏî»òij¼¸ÏîÊýÁ¿Ö¸±ê. ÈçǰÊö×ÜÌå(Ò»Äê¼¶ÐÂÉú)ÖÐ, ÎÒÃǹØÐĵÄÊǸöÌåµÄÌåÖØ, ½ø¶øÒ²¿É¿¼²ì¸Ã×ÜÌåÖÐÿ¸ö¸öÌåµÄÉí¸ßºÍÊýѧ¸ß¿¼³É¼¨µÈÊýÁ¿Ö¸±ê.

×ÜÌåÖеÄÿһ¸ö¸öÌåÊÇËæ»úÊÔÑéµÄÒ»¸ö¹Û²ìÖµ, ¹ÊËüÊÇÄ³Ò»Ëæ»ú±äÁ¿XµÄÖµ,ÓÚÊÇ, Ò»¸ö×ÜÌå¶ÔÓ¦ÓÚÒ»¸öËæ»ú±äÁ¿X, ¶Ô×ÜÌåµÄÑо¿¾ÍÏ൱ÓÚ¶ÔÒ»¸öËæ»ú±äÁ¿XµÄÑо¿, XµÄ·Ö²¼¾Í³ÆÎª×ÜÌåµÄ·Ö²¼º¯Êý, ½ñºó½«²»Çø·Ö×ÜÌåÓëÏàÓ¦µÄËæ»ú±äÁ¿, ²¢ÒýÈëÈç϶¨Òå:

¶¨Òå ͳ¼ÆÑ§ÖгÆËæ»ú±äÁ¿(»òÏòÁ¿)XΪ×ÜÌå, ²¢°ÑËæ»ú±äÁ¿(»òÏòÁ¿)µÄ·Ö²¼³ÆÎª×ÜÌå·Ö²¼.

×¢(i) ÓÐʱ¸öÌåµÄÌØÐÔºÜÄÑÓÃÊýÁ¿Ö¸±êÖ±½ÓÃèÊö, µ«×Ü¿ÉÒÔ½«ÆäÊýÁ¿»¯,Èç¼ìÑéijѧУȫÌåѧÉúµÄѪÐÍ, ÊÔÑéµÄ½á¹ûÓÐOÐÍ¡¢AÐÍ¡¢BÐÍ¡¢ABÐÍ4ÖÖ, Èô·Ö±ðÒÔ1,2,3,4ÒÀ´Î¼ÇÕâ4ÖÖѪÐÍ,ÔòÊÔÑéµÄ½á¹û¾Í¿ÉÒÔÓÃÊýÁ¿À´±íʾÁË;

(ii) ×ÜÌåµÄ·Ö²¼Ò»°ãÀ´ËµÊÇδ֪µÄ, ÓÐʱ¼´Ê¹ÖªµÀÆä·Ö²¼µÄÀàÐÍ(ÈçÕý̬·Ö²¼¡¢¶þÏî·Ö²¼µÈ),µ«²»ÖªÕâЩ·Ö²¼ÖÐËùº¬µÄ²ÎÊýµÈ(Èç?,?2,pµÈ).ÊýÀíͳ¼ÆµÄÈÎÎñ¾ÍÊǸù¾Ý×ÜÌåÖв¿·Ö¸öÌåµÄÊý¾Ý×ÊÁ϶Ô×ÜÌåµÄδ֪·Ö²¼½øÐÐͳ¼ÆÍƶÏ.

41

¶þ¡¢Ñù±¾ÓëÑù±¾·Ö²¼

ÓÉÓÚ×÷Ϊͳ¼ÆÑо¿¶ÔÏóµÄ×ÜÌå·Ö²¼Ò»°ãÀ´ËµÊÇδ֪µÄ,ÎªÍÆ¶Ï×ÜÌå·Ö²¼¼°Æä¸÷ÖÖÌØÕ÷,Ò»°ã·½·¨Êǰ´Ò»¶¨¹æÔò´Ó×ÜÌåÖгéÈ¡Èô¸É¸öÌå½øÐй۲ì,ͨ¹ý¹Û²ì¿ÉµÃµ½¹ØÓÚ×ÜÌåXµÄÒ»×éÊýÖµ(x1,x2,?,xn),ÆäÖÐÿһxiÊÇ´Ó×ÜÌåÖгéÈ¡µÄijһ¸öÌåµÄÊýÁ¿Ö¸±êXiµÄ¹Û²ìÖµ.ÉÏÊö³éÈ¡¹ý³ÌΪ³éÑù,Ëù³éÈ¡µÄ²¿·Ö¸öÌå³ÆÎªÑù±¾.Ñù±¾ÖÐËùº¬¸öÌåÊýÄ¿³ÆÎªÑù±¾µÄÈÝÁ¿.Ϊ¶Ô×ÜÌå½øÐкÏÀíµÄͳ¼ÆÍƶÏ,ÎÒÃÇ»¹ÐèÔÚÏàͬµÄÌõ¼þϽøÐжà´ÎÖØ¸´µÄ¡¢¶ÀÁ¢µÄ³éÑù¹Û²ì,¹ÊÑù±¾ÊÇÒ»¸öËæ»ú±äÁ¿(»òÏòÁ¿).ÈÝÁ¿ÎªnµÄÑù±¾¿ÉÊÓΪnÎ¬Ëæ»úÏòÁ¿(X1,X2,?,Xn),Ò»µ©¾ßÌåÈ¡¶¨Ò»×éÑù±¾,±ãµÃµ½Ñù±¾µÄÒ»´Î¾ßÌåµÄ¹Û²ìÖµ

(x1,x2,?,xn),

³ÆÆäΪÑù±¾Öµ.È«ÌåÑù±¾Öµ×é³ÉµÄ¼¯ºÏ³ÆÎªÑù±¾¿Õ¼ä.

ΪÁËʹ³éÈ¡µÄÑù±¾Äܺܺõط´Ó³×ÜÌåµÄÐÅÏ¢, ±ØÐ뿼ÂdzéÑù·½·¨,×î³£ÓõÄÒ»ÖÖ³éÑù·½·¨³ÆÎª¼òµ¥Ëæ»ú³éÑù, ËüÒªÇó³éÈ¡µÄÑù±¾Âú×ãÏÂÃæÁ½¸öÌõ¼þ:

1. ´ú±íÐÔ: X1,X2,?,XnÓëËù¿¼²ìµÄ×ÜÌå¾ßÓÐÏàͬµÄ·Ö²¼; 2. ¶ÀÁ¢ÐÔ: X1,X2,?,XnÊÇÏ໥¶ÀÁ¢µÄËæ»ú±äÁ¿.

Óɼòµ¥Ëæ»ú³éÑùµÃµ½µÄÑù±¾³ÆÎª¼òµ¥Ëæ»úÑù±¾, Ëü¿ÉÓÃÓë×ÜÌå¶ÀÁ¢Í¬·Ö²¼µÄn¸öÏ໥¶ÀÁ¢µÄËæ»ú±äÁ¿X1,X2,?,Xn±íʾ. ÏÔÈ», ¼òµ¥Ëæ»úÑù±¾ÊÇÒ»Öַdz£ÀíÏ뻯µÄÑù±¾, ÔÚʵ¼ÊÓ¦ÓÃÖÐÒª»ñµÃÑϸñÒâÒåϵļòµ¥Ëæ»úÑù±¾²¢²»ÈÝÒ×.

¶ÔÓÐÏÞ×ÜÌå, Èô²ÉÓÃÓзŻسéÑù¾ÍÄܵõ½¼òµ¥Ëæ»úÑù±¾,µ«ÓзŻسéÑùʹÓÃÆðÀ´²»·½±ã, ¹Êʵ¼Ê²Ù×÷ÖÐͨ³£²ÉÓõÄÊÇÎ޷ŻسéÑù, µ±Ëù¿¼²ìµÄ×ÜÌåºÜ´óʱ, Î޷ŻسéÑùÓëÓзŻسéÑùµÄÇø±ðºÜС, ´Ëʱ¿É½üËÆ°ÑÎ޷ŻسéËùµÃµ½µÄÑù±¾¿´³ÉÊÇÒ»¸ö¼òµ¥Ëæ»úÑù±¾. ¶ÔÎÞÏÞ×ÜÌå, Òò³éȡһ¸ö¸öÌå²»Ó°ÏìËüµÄ·Ö²¼, ¹Ê²ÉÓÃÎ޷ŻسéÑù¼´¿ÉµÃµ½µÄÒ»¸ö¼òµ¥Ëæ»úÑù±¾.

×¢: ½ñºó¼Ù¶¨Ëù¿¼ÂǵÄÑù±¾¾ùΪ¼òµ¥Ëæ»úÑù±¾, ¼ò³ÆÎªÑù±¾.

Éè×ÜÌåXµÄ·Ö²¼º¯ÊýΪF(x),Ôò¼òµ¥Ëæ»úÑù±¾(X1,X2,?,Xn)µÄÁªºÏ·Ö²¼º¯ÊýΪ

F(x1,x2,?,xn)??F(xi)

i?1n²¢³ÆÆäΪÑù±¾·Ö²¼.

ÌØ±ðµØ, Èô×ÜÌåXΪÁ¬ÐøÐÍËæ»ú±äÁ¿,Æä¸ÅÂÊÃܶÈΪf(x),ÔòÑù±¾µÄ¸ÅÂÊÃܶÈΪ

f(x1,x2,?,xn)??f(xi)

i?1n·Ö±ð³Æf(x)Óëf(x1,x2,?,xn)Ϊ×ÜÌåÃܶÈÓëÑù±¾ÃܶÈ.

Èô×ÜÌåXΪÀëÉ¢ÐÍËæ»ú±äÁ¿,Æä¸ÅÂÊ·Ö²¼Îªp(xi)?P{X?xi}, xÈ¡±éXËùÓпÉÄÜȡֵ, ÔòÑù±¾µÄ¸ÅÂÊ·Ö²¼Îª

p(x1,x2,?,xn)?p{X?x1,X?x2,?,X?xn}??p(xi),

i?1n·Ö±ð³Æp(xi)Óëp(x1,x2,?,xn)ΪÀëÉ¢×ÜÌåÃܶÈÓëÀëÉ¢Ñù±¾ÃܶÈ.

Èý¡¢Í³¼ÆÍƶÏÎÊÌâ¼òÊö

×ÜÌåºÍÑù±¾ÊÇÊýÀíͳ¼ÆÖеÄÁ½¸ö»ù±¾¸ÅÄî. Ñù±¾À´×Ô×ÜÌ壬×ÔÈ»´øÓÐ×ÜÌåµÄÐÅÏ¢£¬´Ó¶ø¿ÉÒÔ´ÓÕâЩÐÅÏ¢³ö·¢È¥Ñо¿×ÜÌåµÄÄ³Ð©ÌØÕ÷£¨·Ö²¼»ò·Ö²¼ÖеIJÎÊý£©. ÁíÒ»·½Ã棬ÓÉÑù±¾Ñо¿×ÜÌå¿ÉÒÔʡʱʡÁ¦£¨ÌرðÊÇÕë¶ÔÆÆ»µÐԵijéÑùÊÔÑé¶øÑÔ£©. ÎÒÃdzÆÍ¨¹ý×ÜÌåXµÄÒ»¸öÑù±¾X1,X2,?,Xn¶Ô×ÜÌåXµÄ·Ö²¼½øÐÐÍÆ¶ÏµÄÎÊÌâΪͳ¼ÆÍƶÏÎÊÌâ.

×ÜÌå¡¢Ñù±¾¡¢Ñù±¾ÖµµÄ¹ØÏµ:

×ÜÌå

¨L ¨IÍÆ¶Ï

£¨¸öÌ壩Ñù±¾ ¡ú Ñù±¾Öµ

³éÑù

ÔÚʵ¼ÊÓ¦ÓÃÖÐ, ×ÜÌåµÄ·Ö²¼Ò»°ãÊÇδ֪µÄ, »òËäȻ֪µÀ×ÜÌå·Ö²¼ËùÊôµÄÀàÐÍ, µ«ÆäÖаü

42

º¬×Åδ֪²ÎÊý. ͳ¼ÆÍƶϾÍÊÇÀûÓÃÑù±¾Öµ¶Ô×ÜÌåµÄ·Ö²¼ÀàÐÍ¡¢Î´Öª²ÎÊý½øÐйÀ¼ÆºÍÍÆ¶Ï.

Ϊ¶Ô×ÜÌå½øÐÐͳ¼ÆÍƶÏ, »¹Ðè½èÖúÑù±¾¹¹ÔìһЩºÏÊʵÄͳ¼ÆÁ¿, ¼´Ñù±¾µÄº¯Êý, ÏÂÃæ½«¶ÔÏà¹ØÍ³¼ÆÁ¿½øÐÐÉîÈëµÄÌÖÂÛ.

ËÄ¡¢·Ö×éÊý¾Ýͳ¼Æ±íºÍƵÊýÖ±·½Í¼ ͨ¹ý¹Û²ì»òÊÔÑéµÃµ½µÄÑù±¾Öµ£¬Ò»°ãÊÇÔÓÂÒÎÞÕµģ¬ÐèÒª½øÐÐÕûÀí²ÅÄÜ´Ó×ÜÌåÉϳÊÏÖÆäͳ¼Æ¹æÂÉÐÔ. ·Ö×éÊý¾Ýͳ¼Æ±í»òƵÂÊÖ±·½Í¼ÊÇÁ½ÖÖ³£ÓÃÕûÀí·½·¨. 1. ·Ö×éÊý¾Ý±í£ºÈôÑù±¾Öµ½Ï¶àʱ£¬¿É½«Æä·Ö³ÉÈô¸É×飬·Ö×éµÄÇø¼ä³¤¶ÈÒ»°ãÈ¡³ÉÏàµÈ, ³ÆÇø¼äµÄ³¤¶ÈΪ×é¾à. ·Ö×éµÄ×éÊýÓ¦ÓëÑù±¾ÈÝÁ¿ÏàÊÊÓ¦. ·Ö×éÌ«ÉÙ£¬ÔòÄÑÒÔ·´Ó³³ö·Ö²¼µÄÌØÕ÷£¬Èô·Ö×éÌ«¶à£¬ÔòÓÉÓÚÑù±¾È¡ÖµµÄËæ»úÐÔ¶øÊ¹·Ö²¼ÏÔµÃÔÓÂÒ. Òò´Ë£¬·Ö×éʱ£¬È·¶¨·Ö×éÊý£¨»ò×é¾à£©Ó¦ÒÔÍ»³ö·Ö²¼µÄÌØÕ÷²¢³åµ­Ñù±¾µÄËæ»ú²¨¶¯ÐÔΪԭÔò. Çø¼äËùº¬µÄÑù±¾Öµ¸öÊý³ÂΪ¸ÃÇø¼äµÄ×鯵Êý. ×鯵ÊýÓë×ܵÄÑù±¾ÈÝÁ¿Ö®±È³ÆÎª×鯵ÂÊ.

2. ƵÊýÖ±·½Í¼£ºÆµÂÊÖ±·½Í¼ÄÜÖ±¹ÛµØ±íʾ³öƵÊýµÄ·Ö²¼£¬Æä²½ÖèÈçÏ£º Éèx1,x2,?,xnÊÇÑù±¾µÄn¸ö¹Û²ìÖµ.

(i) Çó³öx1,x2,?,xnÖеÄ×îСÕßx(1)ºÍ×î´óÕßx(n)£»

(ii) ѡȡ³£Êýa£¨ÂÔСÓÚx(1)£©ºÍb£¨ÂÔ´óÓÚx(n)£©£¬²¢½«Çø¼ä[a,b]µÈ·Ö³Ém¸öÐ¡Çø¼ä£¨Ò»°ãÈ¡mʹ

m1ÔÚ×óÓÒ£©£º 10nb?a, m [ti,ti??t),i?1,2,?,m,?t?Ò»°ãÇé¿öÏ£¬Ð¡Çø¼ä²»°üÀ¨ÓҶ˵ã.

n? (iii) Çó³ö×鯵Êýni£¬×鯵ÂÊi?fi£¬ÒÔ¼°

nf hi?i,(i?1,2,?,n)

?t(iv) ÔÚ[ti,ti??t)ÉÏÒÔhiΪ¸ß£¬?tΪ¿í×÷С¾ØÐΣ¬ÆäÃæ»ýǡΪfi£¬ËùÓÐС¾ØÐκÏÔÚÒ»Æð¾Í¹¹³ÉÁËÆµÂÊÖ±·½Í¼

Îå¡¢¾­Ñé·Ö²¼º¯Êý

Ñù±¾µÄÖ±·½Í¼¿ÉÒÔÐÎÏóµØÃèÊö×ÜÌåµÄ¸ÅÂÊ·Ö²¼µÄ´óÖÂÐÎ̬£¬¶ø¾­Ñé·Ö²¼º¯ÊýÔò¿ÉÒÔÓÃÀ´ÃèÊö×ÜÌå·Ö²¼º¯ÊýµÄ´óÖÂÐÎ×´¡£

¶¨Òå Éè×ÜÌåXµÄÒ»¸öÈÝÁ¿ÎªnµÄÑù±¾µÄÑù±¾Öµx1,x2,?,xn¿É°´´óС´ÎÐòÅÅÁгÉ

x(1)?x(2)???x(n).

Èôx(k)?x?x(k?1),Ôò²»´óÓÚxµÄÑù±¾ÖµµÄƵÂÊΪ

k. Òò¶øº¯Êý n?0,Èôx?x(1),??kFn(x)??,Èôx(k)?x?x(k?1),

?n?1,Èôx?x(n).?Óëʼþ{X?x}ÔÚn´Î¶ÀÁ¢Öظ´ÊÔÑéÖÐµÄÆµÂÊÊÇÏàͬµÄ£¬ÎÒÃdzÆFn(x)Ϊ¾­Ñé·Ö²¼º¯Êý¡£

¶ÔÓÚ¾­Ñé·Ö²¼º¯ÊýFn(x), ¸ñÀïãë¿Æ(Glivenko)ÔÚ1933ÄêÖ¤Ã÷ÁËÒÔϵĽá¹û: ¶ÔÓÚÈÎһʵÊýx, µ±n??ʱFn(x)ÒÔ¸ÅÂÊ1Ò»ÖÂÊÕÁ²ÓÚ·Ö²¼º¯ÊýF(x), ¼´

P{limsup|Fn(x)?F(x)|?0}?1.

n?????x??Òò´Ë, ¶ÔÓÚÈÎһʵÊýxµ±n³ä·Ö´óʱ, ¾­Ñé·Ö²¼º¯ÊýµÄÈÎÒ»¸ö¹Û²ìÖµFn(x)Óë×ÜÌå·Ö²¼º¯ÊýF(x)Ö»ÓÐ΢СµÄ²î±ð, ´Ó¶øÔÚʵ¼ÊÖпɵ±×÷F(x)À´Ê¹ÓÃ. Õâ¾ÍÊÇÓÉÑù±¾ÍƶÏ×ÜÌåÆä¿ÉÐÐÐÔµÄ×î»ù±¾µÄÀíÂÛÒÀ¾Ý.

43

Áù¡¢Í³¼ÆÁ¿

ΪÓÉÑù±¾ÍƶÏ×ÜÌå,Òª¹¹ÔìһЩºÏÊʵÄͳ¼ÆÁ¿, ÔÙÓÉÕâЩͳ¼ÆÁ¿À´ÍƶÏδ֪×ÜÌå. ÕâÀï, Ñù±¾µÄͳ¼ÆÁ¿¼´ÎªÑù±¾µÄº¯Êý. ¹ãÒ嵨½², ͳ¼ÆÁ¿¿ÉÒÔÊÇÑù±¾µÄÈÎÒ»º¯Êý, µ«ÓÉÓÚ¹¹Ôìͳ¼ÆÁ¿µÄÄ¿µÄÊÇÎªÍÆ¶Ïδ֪×ÜÌåµÄ·Ö²¼,¹ÊÔÚ¹¹Ôìͳ¼ÆÁ¿Ê±, ¾Í²»Ó¦°üº¬×ÜÌåµÄδ֪²ÎÊý, Ϊ´ËÒýÈëÏÂÁж¨Òå.

¶¨Òå Éè(X1,X2,?,Xn)Ϊ×ÜÌåXµÄÒ»¸öÑù±¾, ³Æ´ËÑù±¾µÄÈÎÒ»²»º¬×ÜÌå·Ö²¼Î´Öª²ÎÊýµÄº¯ÊýΪ¸ÃÑù±¾µÄͳ¼ÆÁ¿.

Æß¡¢Ñù±¾µÄÊý×ÖÌØÕ÷

ÒÔÏÂÉèX1,X2,?,XnΪ×ÜÌåXµÄÒ»¸öÑù±¾. 1n1. Ñù±¾¾ùÖµ X??Xi

ni?11n2. Ñù±¾·½²î S?(Xi?X)2 ?n?1i?123. Ñù±¾±ê×¼²î S?1n(Xi?X)2 ?n?1i?11nk4. Ñù±¾(k½×)Ô­µã¾Ø Ak??Xi,k?1,2,?

ni?11n5. Ñù±¾(k½×)ÖÐÐÄ¾Ø Bk??(Xi?X)k,k?2,3,?

ni?1×¢: ÉÏÊöÎåÖÖͳ¼ÆÁ¿¿Éͳ³ÆÎª¾ØÍ³¼ÆÁ¿,¼ò³ÆÎªÑù±¾¾Ø,ËüÃǶ¼ÊÇÑù±¾µÄÏÔʾº¯Êý,ËüÃǵĹ۲ìÖµÈÔ·Ö±ð³ÆÎªÑù±¾¾ùÖµ¡¢Ñù±¾·½²î¡¢Ñù±¾±ê×¼²î¡¢Ñù±¾(k½×)Ô­µã¾Ø¡¢Ñù±¾(k½×)ÖÐÐľØ.

6. ˳Ðòͳ¼ÆÁ¿ ½«Ñù±¾Öеĸ÷·ÖÁ¿°´ÓÉСµ½´óµÄ´ÎÐòÅÅÁгÉ

X(1)?X(2)???X(n), Ôò³ÆX(1),X(2),?,X(n)ΪÑù±¾µÄÒ»×é˳Ðòͳ¼ÆÁ¿, X(i)³ÆÎªÑù±¾µÄµÚi¸ö˳Ðòͳ¼ÆÁ¿. ÌØ±ðµØ, ³ÆX(1)ÓëX(n)·Ö±ðΪÑù±¾¼«Ð¡ÖµÓëÑù±¾¼«´óÖµ, ²¢³ÆX(n)?X(1)ΪÑù±¾µÄ¼«²î.

Àý1Ñù±¾µÄһЩÀý×ÓÓë¹Û²ìÖµµÄ±íʾ·½·¨:

(1) ijʳƷ³§ÓÃ×Ô¶¯×°¹Þ»úÉú²ú¾»ÖØÎª345¿ËµÄÎç²ÍÈâ¹ÞÍ·, ÓÉÓÚËæ»úÐÔ, ÿ¸ö¹ÞÍ·µÄ¾»Öض¼Óвî±ð. ÏÖÔÚ´ÓÉú²úÏßÉÏËæ»ú³éÈ¡10¸ö¹ÞÍ·, ³ÓÆä¾»ÖØ, µÃÈçϽá¹û:

344 336 345 342 340 338 344 343 344 343

ÕâÊÇÒ»¸öÈÝÁ¿Îª10µÄÑù±¾µÄ¹Û²ìÖµ, ËüÊÇÀ´×Ô¸ÃÉú²úÏß¹ÞÍ·¾»ÖØÕâÒ»×ÜÌåµÄÒ»¸öÑù±¾µÄ¹Û²ìÖµ.

(2) ¶ÔijÐͺŵÄ20Á¾Æû³µ¼Ç¼ÿ¼ÓÂØÆûÓ͸÷×ÔÐÐÊ»µÄÀï³ÌÊý(µ¥Î»:¹«Àï)ÈçÏÂ:

29.8 27.6 28.3 28.7 27.9 30.1 29.9 28.0 28.7 27.9 28.5 29.5 27.2 26.9 28.4 27.8 28.0 30.0 29.6 29.1

ÕâÊÇÒ»¸öÈÝÁ¿Îª20µÄÑù±¾µÄ¹Û²ìÖµ, ¶ÔÓ¦µÄ×ÜÌåÊǸÃÐÍºÅÆû³µÃ¿¼ÓÂØÆûÓÍÐÐÊ»µÄÀï³Ì.

(3) ¶Ô363¸öÁãÊÛÉ̵êµ÷²éÖÜÊÛ¶î(µ¥Î»:Ôª)µÄ½á¹ûÈçÏÂ:

ÁãÊÛ¶î?1000(1000,5000](5000,10000](10000,20000](20000,30000]

É̵êÊý611351104215ÕâÊÇÒ»¸öÈÝÁ¿Îª363µÄÑù±¾µÄ¹Û²ìÖµ, ¶ÔÓ¦µÄ×ÜÌåÊÇËùÓÐÁãÊÛµêµÄÖÜÁãÊÛ¶î. ²»¹ýÕâÀïûÓиø³öÿһ¸öÑùÆ·µÄ¾ßÌåµÄ¹Û²ìÖµ, ¶øÊǸø³öÁËÑù±¾¹Û²ìÖµËùÔÚµÄÇø¼ä, ³ÆÎª·Ö×éÑù±¾µÄ¹Û²ìÖµ.ÕâÑùÒ»À´µ±È»»áËðʧһЩÐÅÏ¢, µ«ÊÇÔÚÑù±¾Á¿½Ï´óʱ, ÕâÖÖ¾­¹ýÕûÀíµÄÊý¾Ý¸üÄÜʹÈËÃǶÔ×ÜÌåÓÐÒ»¸ö´óÖµÄÓ¡Ïó.

Àý2³Æ×ÜÌåXΪÕý̬×ÜÌå, ÈçËü·þ´ÓÕý̬·Ö²¼. Õý̬×ÜÌåÊÇͳ¼ÆÓ¦ÓÃÖÐ×î³£¼ûµÄ×ÜÌå. ÏÖÉè×ÜÌåX·þ´ÓÕý̬·Ö²¼N(?,?2), ÔòÆäÑù±¾ÃܶÈÓÉÏÂʽ¸ø³ö:

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