数缺形时少直观，形少数时难入微
——一道中考题的多解探究
１ 题目呈现
（山东?青岛）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透．
数形结合的基本思想，就是在研究问题的过程中，注意把数和形结合起来考察，斟酌问题的具体情形，把图形性质的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易，获得简便易行的成功方案．
例题 求1＋2＋3＋4＋?＋n的值，其中n是正整数．
对于这个求和问题，如果采用纯代数的方法（首尾两头加），问题虽然可以解决，但在求和过程中，需对n的奇偶性进行讨论．
如果采用数形结合的方法，即用图形的性质来说明数量关系的事实，那就非常的直观．现利用图形的性质来求1＋2＋3＋4＋?＋n 的值，方案如下：如图1，斜线左边的三角形图案是由上到下每层依次分别为1，2，3，?，n个小圆圈排列组成的．而组成整个三角形小圆圈的个数恰为所求式子1＋2＋3＋4＋?＋n的值．为求式子的值，现把左边三角形倒放于斜线右边，与原三角形组成一个平行四边形．此时，组成平行四边形的小圆圈共有n行，每行有（n＋1）个小圆圈，所以组成平行四边形小圆圈的总个数为n（n＋1）个，因此，组成一个三角形小圆圈的个数为
图1
n（n?1）n（n?1），即1＋2＋3＋4＋?＋n＝． 22（1）仿照上述数形结合的思想方法，设计相关图形，求1＋3＋5＋7＋?＋（2n－1）的值，其中 n 是正整数．（要求：画出图形，并利用图形做必要的推理说明）
（2）试设计另外一种图形，求1＋3＋5＋7＋?＋（2n－1）的值，其中n是正整数．（要求：画出图形，并利用图形做必要的推理说明）
２ 题目简析
本题是2006年中考数学青岛卷第23题，是一个等差数列求和的问题，本题并不是考查学生对公式的记忆，而是通过数形结合的思想自主探究此类问题的求解途径，考查了学生对数形结合思想的理解和应用能力、创新能力等，同时对学生的思维品质要求较高，两个问题第（1）问可以直接模仿例题完成，第（2）问更加开放，体现了中考试题较好的区分度．以下给出了笔者对本题的几种思考方法，供大家参考．
３ 解法展示
３.1 利用旋转的方法排列图形
解法１：
图2
如图2，因为组成此平行四边形的小圆圈共有n 行，每行有（[2n －1）＋1]个，即2n 个，所以组成此平行四边形的小圆圈共有（n×2n）个，即2n2个．
∴1＋3＋5＋7＋?＋（2n－1）＝
n?〔（2n—1）?1〕2
＝n ．
2解法２：把一个三角形图案的两部分旋转成平行四边形．
n行倒放在斜线右边，形成平行四边形．此时组成平行四边2nn形的小圆圈共行，每行2n个小圆圈，共×2n＝n2个．所以1+3+5+7+??+2n-1= n2.
22 如图3，当n为偶数时，前
1
3 5
2n-5 2n-3 2n-1
．．． ．．．
．．． ．．．
图3
如图4，当n为奇数时，前
n?3n?1行倒放在斜线右边第行后，形成平行四边形加
22一行n个小圆圈．此时组成平行四边形的小圆圈共行
n?1行，每行2n个小圆圈，共2n?1×2n+n＝n2个． 21 3 5
．．．
．．． ．．．
2n-5 2n-3 2n-1
．．．
图4
解法３：如图5，第一行共n列，每列依次为1、3、5、7??2n-1个小圆圈，这一行水
平旋转180度，放在直线l的下方，形成一个四边形．每列共2n-1+1=2n个小圆圈，共n列，共2n2个小圆圈，第一行共1+3+5+7+??+2n-1= n2个小圆圈. 所以1+3+5+7+??+2n-1= n2.
1
3 5 7 2n-1
2n-1 7 5 3
1
图5
解法４：如图6，2n-1为奇数，沿正中间一列分开（中间一列每个被分割的小圆圈看作
是两个半圆），把左边的部分旋转180°后倒放在分割线的右边，和剩下的部分形成矩形．此时组成矩形的小圆共n行，每行(1+3+5+7+??+2n-1= n2.
2n?11?)个,即n个小圆圈，共n×n＝n2个．所以22
1
3 5 7 2n-1
图6
【点评】用图形直观的把数表示出来，体现了利用“几何直观”来解决问题的优势．通过把图形进行直接、加倍或分割后的旋转变换，让图形体现的数量关系更加明显，也便于计算．要注意的是对图形的数量进行加倍后，数字的数量关系也随之变化，要对最后的计算结果进行还原处理．
3.2 利用轴对称的方法排列图形
解法５：如图7，把代表数量的小圆圈按上下成轴对称的形式排列，四边形由左上方到右下方每行有n个小圆圈，共2n行，共2n2个小圆圈，所以1+3+5+7+??+2n-1= n2.
1
1 3 5 7 2n-1 2n-1 7 5 3 1
3 5 7
2n-1
2n-1 7 5 3 1
图7
解法６：如图8，把图7去掉一行2n-1，两三角形关于中间一行成轴对称，四边形由左
上方到右下方每行n个小圆圈及每行n-1个小圆圈交替出现，每行n个小圆圈的共n行，有n2个小圆圈，每行n-1个小圆圈共（n-1）行，有(n-1)2个小圆圈，
所以1+3+5+7+??+2n-1=
图8
..................图9
【点评】利用轴对称的方法进行数量的计算也很好的突出了“几何直观”的优势．利用轴对称对对数量关系进行重新的排列后，可以从不同的角度去观察图形，选择合适的角度进行计算．对于计算结果同样需要考虑增加或减少图形后的还原． 3.3 利用填补的方法构造特殊图形
解法７：如图9，由黄色和绿色的小正方形共同建立一个每行有(2n-1)个共n行的长方