1.1 两个基本计数原理
学习目标 重点、难点 1．能说出分类计数原理和分步计数原理； 重点：两个基本计数原理的理解． 2．会用分类计数原理或分步计数原理分难点：区分两个基本计数原理，正确析和解决一些简单的实际问题. 地选用两个计数原理解决实际问题. 1．分类计数原理
完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2
种不同的方法，……，在第n类方式中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法．分类计数原理又称为加法原理．
预习交流1
应用分类计数原理的原则是什么？
提示：做一件事有n类方式，每一类方式中的每一种方法均完成了这件事． 2．分步计数原理
完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法．分步计数原理又称为乘法原理．
预习交流2
应用分步计数原理的原则是什么？
提示：做一件事要分n个步骤完成，只有所有步骤完成时，才完成这件事，也就是说，每一步骤中每种方法均不能完成这件事．
在预习中，还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！ 我的学困点 我的学疑点
一、分类计数原理问题
从甲地到乙地每天有火车3班，汽车8班，飞机2班，轮船2班，问一天内乘坐班次不同的运输工具由甲地到乙地，有多少种不同的走法？
思路分析：由于每班火车、汽车、飞机、轮船均能实现从甲地到乙地，因此利用分类计数原理．
解：根据运输工具可分四类：
第1类是乘坐火车，有3种不同的走法；
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第2类是乘坐汽车，有8种不同的走法； 第3类是乘坐飞机，有2种不同的走法； 第4类是乘坐轮船，有2种不同的走法；
根据分类计数原理，共有不同的走法的种数是N＝3＋8＋2＋2＝15.
设有5幅不同的油画，2幅不同的国画，7幅不同的水彩画．从这些画中只选一幅布置房间，有__________种不同的选法．
答案：14
解析：根据分类计数原理，不同的选法有N＝5＋2＋7＝14种． 如果完成一件事有n类方式，每类方式彼此之间是相互独立的，无论哪一种方式的每种方法都能单独完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用分类计数原理(加法原理)．
二、分步计数原理问题
有三个盒子，分别装有不同编号的红色小球6个，白色小球5个，黄色小球4个，现从盒子里任取红、白、黄小球各1个，有多少种不同的取法？
思路分析：要从盒子里取到红、白、黄小球各1个，应分三个步骤，并且这三个步骤均完成时，才完成这件事，故应用分步计数原理．
解：分三步完成：
第1步是取红球，有6种不同的取法； 第2步是取白球，有5种不同的取法； 第3步是取黄球，有4种不同的取法；
根据分步计数原理，不同取法的种数为N＝6×5×4＝120.
现有高一学生9人，高二学生12人，高三学生7人自发组织参加数学课外活动小组，为便于管理，每年级各选一名组长，有__________种不同的选法．
答案：756
解析：根据分步计数原理有N＝9×12×7＝756种不同的选法． 如果完成一件事需要分成n个步骤，缺一不可，即需要依次完成所有步骤才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事的方法种数就用分步计数原理(乘法原理)．
1．两个书橱，一个书橱内有7本不同的小说，另一个书橱内有5本不同的教科书．现从两个书橱任取一本书的取法有__________种．
答案：12
解析：根据分类计数原理，不同的取法有N＝7＋5＝12种．
2．教学大楼有5层，每层均有2个楼梯，由1楼到5楼的走法有__________种． 答案：16
解析：根据分步计数原理，不同的走法有N＝2×2×2×2＝16种．
3．现有高一学生9人，高二学生12人，高三学生7人，从中推选两名来自不同年级的学生做一次活动的主持人，共有__________种不同的选法．
答案：255
解析：分三类：第1类是从高一和高二各取1人，有9×12＝108种选法； 第2类是从高一和高三各取1人，有9×7＝63种选法； 第3类是从高二和高三各取1人，有12×7＝84种选法； 由分类计数原理，不同的选法有N＝108＋63＋84＝255种．
4．某体育彩票规定，从01～36共36个号中抽出7个号为一注，每注2元，某人想选定吉利号18，然后从01～17中选3个连续的号，从19～29中选2个连续的号，从30～36
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中选1个号组成一注，若这个人要把这种号全买下来至少要花多少钱？
解：分三步选号：第1步从01～17中选3个连续的号共有15种选法； 第2步从19～29中选2个连续的号共有10种选法； 第3步从30～36中选1个号共有7种选法；
因此由分步计数原理知共有N＝15×10×7＝1 050(注)，故要花1 050×2＝2 100(元)． 5．有四位同学参加三项不同的竞赛．
(1)每位同学必须只参加一项比赛，有多少种竞赛方案？ (2)每项竞赛只允许一位同学参加，有多少种竞赛方案？
解：(1)同学可以选择竞赛项目，而竞赛项目对于同学无条件限制，所以每位同学均有3个不同的机会，要完成这件事必须是每位同学参加竞赛的项目全确定下来．因此分四步，
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所以根据分步计数原理，共有N＝3×3×3×3＝3＝81种不同的方案．
(2)竞赛项目可挑选同学，而同学无选择项目的机会，每一个项目可挑选4个不同的同学中的一个，要完成这件事须每项竞赛所参加的同学全部确定下来才行．因此需分三步，根据分步计数原理，共有M＝4×4×4＝64种不同的方案．
用精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来，并进行识记． 知识精华 技能要领
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