第一课时 等差数列的概念与通项公式
[选题明细表]
知识点、方法 等差数列的判定 等差数列的基本运算 等差中项的应用 综合应用 基础巩固
1.下列数列不是等差数列的是( D ) (A)3,3,3,…,3,…
题号 1,9 2,4,6 3,8 5,7,10,11,12,13 (B)-1,1,3,…,2n-3,… (C)-1,-4,-7,…,2-3n,… (D)0,1,3,…,
,…
解析:直接用等差数列的定义判断.选项A,an+1-an=0,是常数列,也是等差数列;选项B,an+1-an=2,是公差为2的等差数列;选项C,an+1-an=-3,是公差为-3的等差数列;选项D,a2-a1=1,a3-a2=2,不是同一个常数,故选D. 2.已知数列3,9,15,…,3(2n-1),…,那么81是数列的( C ) (A)第12项 (B)第13项 (C)第14项 (D)第15项
解析:an=3(2n-1)=6n-3,由6n-3=81,得n=14. 故选C.
3.设x是a与b的等差中项,x是a与-b的等差中项,则a,b的关系是( C ) (A)a=-b
(B)a=3b
2
2
2
(C)a=-b或a=3b (D)a=b=0 解析:由等差中项的定义知,x=
,x=
2
,
所以=(),即a-2ab-3b=0.
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故a=-b或a=3b.故选C.
4.若等差数列{an}中,已知a1=,a2+a5=4,an=35,则n等于( D ) (A)50 (B)51 (C)52 (D)53 解析:依题意,a2+a5=a1+d+a1+4d=4, 代入a1=,得d=.
所以an=a1+(n-1)d=+(n-1)×=n-,令an=35,解得n=53.故选D.
5.(2019·皇姑区期中)数列{an}中,a1=1,a2=2,且数列{}是等差数列,则a3等于( C (A) (B)3 (C)5 (D)2 007
解析:因为a1=1,a2=2,且数列{}是等差数列,
所以=+,即=+,解得a3=5,故选C.
6.(2019·临沂高二检测)已知{an}为等差数列,a1+a3=22,a6=7,则a5= . 解析:由条件可知
解得
所以a5=12+4×(-1)=8. 答案:8
7.(2019·大连高二检测)已知数列{an}满足:=+4,且a1=1,an>0,则an= . 解析:根据已知条件
=+4,即
-=4.
因为数列{}是公差为4的等差数列, =
+(n-1)·4=4n-3.
因为an>0,所以an=.
)
答案:
8.若,,是等差数列,求证:a,b,c成等差数列.
222
证明:由已知得+=,
通分有=.
进一步变形有2(b+c)(a+b)=(2b+a+c)(a+c),整理, 得a+c=2b,所以a,b,c成等差数列.
能力提升
9.已知数列{an},对任意的n∈N,点Pn(n,an)都在直线y=2x+1上,则{an}为( A ) (A)公差为2的等差数列 (B)公差为1的等差数列 (C)公差为-2的等差数列 (D)非等差数列 解析:由题意知an=2n+1,所以an+1-an=2,应选A.
10.(2019·石家庄高二检测)如果a1,a2,…,a8为各项都大于零的等差数列,且公差d≠0,则( B ) (A)a3a6>a4a5 (B)a3a6
(D)a3a6=a4a5
+7a1d+10d,同理
2
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2
2
2
解析:由通项公式,得a3=a1+2d,a6=a1+5d,那么a3+a6=2a1+7d,a3a6=(a1+2d)(a1+5d) =a4+a5=2a1+7d,a4a5=+7a1d+12d,显然a3a6-a4a5=-2d<0,故选B.
2
2
11.(2019·沈阳二中月考)在△ABC中,若A,B,C的度数成等差数列,且lg a,lg b,lg c也成等差数列,则△ABC的形状一定是 .
解析:因为三内角A,B,C成等差数列,所以2B=A+C,又A+B+C=180°,所以B=60°,又lg a,lg b,lg c成等差数列,所以2lg b=lg a+lg c,即b=ac,由余弦定理得b=a+c-2ac·cos B=a+c-ac,所以ac=a+c-ac,所以a+c-2ac=0,所以(a-c)=0,所以a=c.故△ABC为正三角形. 答案:正三角形
12.已知数列{an}满足a1=1,且an=2an-1+2(n≥2,且n∈N). (1)求a2,a3;
(2)证明:数列{}是等差数列; (3)求数列{an}的通项公式an.
n
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(1)解:a2=2a1+2=6,a3=2a2+2=20. (2)证明:因为an=2an-1+2(n≥2,且n∈N), 所以=
+1(n≥2,且n∈N),
*
n
*
23
即-=1(n≥2,且n∈N),
*
所以数列{}是首项为=,公差d=1的等差数列.
(3)解:由(2),得=+(n-1)×1=n-,
所以an=(n-)·2.
探究创新
13.(2019·临沂高二期中)已知数列{an}满足a1=3,an-2anan+1-an+1=0,求该数列的通项公式. 解:由an-2anan+1-an+1=0,得
-=2.
n
又因为a1=3,所以=,
所以数列{}是以为首项,2为公差的等差数列,
所以=+(n-1)×2=,
所以an=.