立体几何
G5 空间中的垂直关系 18．、[2014·广东卷] 如图1-4，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC＝30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E.
(1)证明：CF⊥平面ADF；
(2)求二面角D - AF - E的余弦值．
图1-4
19．、[2014·湖南卷] 如图1-6所示，四棱柱ABCD -A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形．
(1)证明：O1O⊥底面ABCD；
(2)若∠CBA＝60°，求二面角C1-OB1-D的余弦值．
图1-6 19．解：(1)如图(a)，因为四边形ACC1A1为矩形，所以CC1⊥AC.同理DD1⊥BD. 因为CC1∥DD1，所以CC1⊥BD.而AC∩BD＝O，因此CC1⊥底面ABCD. 由题设知，O1O∥C1C.故O1O⊥底面ABCD.
(2)方法一： 如图(a)，过O1作O1H⊥OB1于H，连接HC1.
由(1)知，O1O⊥底面ABCD，所以O1O⊥底面A1B1C1D1，于是O1O⊥A1C1.
图(a) 又因为四棱柱ABCD -A1B1C1D1的所有棱长都相等，所以四边形A1B1C1D1是菱形， 因此A1C1⊥B1D1，从而A1C1⊥平面BDD1B1，所以A1C1⊥OB1，于是OB1⊥平面O1HC1. 进而OB1⊥C1H.故∠C1HO1是二面角C1-OB1-D的平面角．
不妨设AB＝2.因为∠CBA＝60°，所以OB＝3，OC＝1，OB1＝7.
OO1·O1B1322
在Rt△OO1B1中，易知O1H＝＝2.而O1C1＝1，于是C1H＝O1C1＋O1H＝
OB1712
1＋＝7
19. 7
3
7257＝.
19197
2O1H故cos∠C1HO1＝＝
C1H257
即二面角C1-OB1-D的余弦值为. 19
方法二：因为四棱柱ABCD -A1B1C1D1的所有棱长都相等，所以四边形ABCD是菱形，因此AC⊥BD.又O1O⊥底面ABCD，从而OB，OC，OO1两两垂直．
图(b) 如图(b)，以O为坐标原点，OB，OC，OO1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系O -xyz，不妨设AB＝2.因为∠CBA＝60°，所以OB＝3，OC＝1，于是相关各点的坐标为O(0，0，0)，
B1(3，0，2)，C1(0，1，2)．
易知，n1＝(0，1，0)是平面BDD1B1的一个法向量．
→??n2·OB1＝0，?3x＋2z＝0，
设n2＝(x，y，z)是平面OB1C1的一个法向量，则?即?
→??n2·OC1＝0，?y＋2z＝0.
取z＝－3，则x＝2，y＝23，所以n2＝(2，23，－3)． 设二面角C1-OB1-D的大小为θ，易知θ是锐角，于是
?n1·n2?＝23＝257. cos θ＝|cos〈，〉|＝??19?|n1|·|n2|?19257故二面角C1-OB1-D的余弦值为. 19
19．、、[2014·江西卷] 如图1-6，四棱锥P - ABCD中，ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD.
图1-6
(1)求证：AB⊥PD.
(2)若∠BPC＝90°，PB＝2，PC＝2，问AB为何值时，四棱锥P - ABCD的体积最大？并求此时平面BPC与平面DPC夹角的余弦值．
19．解：(1)证明：因为ABCD为矩形，所以AB⊥AD. 又平面PAD⊥平面ABCD， 平面PAD∩平面ABCD＝AD， 所以AB⊥平面PAD，故AB⊥PD.
(2)过P作AD的垂线，垂足为O，过O作BC的垂线，垂足为G，连接PG. 故PO⊥平面ABCD，BC⊥平面POG，BC⊥PG.
2 32 66
在Rt△BPC中，PG＝，GC＝，BG＝. 333设AB＝m，则OP＝PG－OG＝
2
2
42
－m，故四棱锥P - ABCD的体积为 3
V＝×6·m·
2
1342m2－m＝8－6m. 33
2
4
因为m8－6m＝8m－6m＝
?22?8
－6?m－?＋，
3?3?
所以当m＝
66
，即AB＝时，四棱锥P - ABCD的体积最大． 33
2
此时，建立如图所示的空间直角坐标系，各点的坐标分别为O(0，0，0)，6?6??6?626??26??→
，－，0?，C?，，0?，D?0，，0?，P?0，0，?，故PC＝
3333??3??3????
6?→6?626??
?，，－?，BC＝(0，6，0)，CD＝?－，0，0?.
33??3?3?
B?
设平面BPC的一个法向量为n1＝(x，y，1)，
6?62 6
?x＋y－＝0，→→333则由n1⊥PC，n1⊥BC，得?解得x＝1，y＝0，则n1＝(1，0，1)． ??6y＝0，
?1?同理可求出平面DPC的一个法向量为n2＝?0，，1?.
?2?
1＋14
19．、[2014·辽宁卷] 如图1-5所示，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F分别为AC，DC的中点．
(1)求证：EF⊥BC；
2·
|n1·n2|
设平面BPC与平面DPC的夹角为θ，则cos θ＝＝|n1||n2|
1
＝
10. 5