第28讲 平面向量的数量积
【课程要求】
1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义． 2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．
3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算． 4．能运用数量积表示两个向量的夹角及判断两个平面向量的垂直关系． 5．会用向量方法解决一些简单的平面几何问题及力学问题．
对应学生用书p78
【基础检测】
概念辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．( )
(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．( ) (3)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.( ) (4)(a·b)c＝a(b·c)．( )
?π?(5)两个向量的夹角的范围是?0，?.( )
2??
(6)若a·b>0，则a和b的夹角为锐角；若a·b<0，则a和b的夹角为钝角．( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)×
教材改编
2．[必修4p105例4]已知向量a＝(2，1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝________． [解析]∵2a－b＝(4，2)－(－1，k)＝(5，2－k)， 由a·(2a－b)＝0，得(2，1)·(5，2－k)＝0， ∴10＋2－k＝0，解得k＝12. [答案]12
3．[必修4p106T3]已知|a|＝5，|b|＝4，a·b＝－10，则向量b在向量a方向上的投影为________．
1
[解析]由数量积的定义知，b在a方向上的投影为
a·b|b|cosθ＝＝－2.
|a|[答案]－2
易错提醒
→→
4．已知点A(－1，1)，B(1，2)，C(－2，－1)，D(3，4)，则向量AB在CD方向上的投影为( )
A.
3231532315
B.C．－D．－ 2222
→→→→→→→[解析]由题意知AB＝(2，1)，CD＝(5，5)，则AB在CD方向上的投影为|AB|·cos〈AB，CD〉→→
AB·CD32＝＝.
→2|CD|
[答案]A
→→→
5．已知△ABC的三边长均为1，且AB＝c，BC＝a，CA＝b，则a·b＋b·c＋a·c＝________． [解析]∵〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈a，c〉＝120°，|a|＝|b|＝|c|＝1， 1∴a·b＝b·c＝a·c＝1×1×cos120°＝－，
23
∴a·b＋b·c＋a·c＝－. 23
[答案]－
2
6．设向量a＝(－1，2)，b＝(m，4)，如果向量a与b的夹角为锐角，则m的取值范围是________．
[解析]a·b＝－m＋2×4＝8－m>0，且a≠λb(λ>0)， 解得m<8且m≠－2.
[答案] (－∞，－2)∪(－2，8) 【知识要点】 1．两向量的夹角
→→
已知非零向量a，b，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB叫做a与b的夹角．
a与b的夹角的取值范围是__[0，π]__．
2
当a与b同向时，它们的夹角为__0__；当a与b反向时，它们的夹角为__π__；当夹角为90°时，我们说a与b垂直，记作a⊥b.
2．向量数量积的定义
已知两个非零向量a与b，我们把__|a||b|cos__θ__叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ.
规定：零向量与任何向量的数量积为0，即0·a＝0. 3．向量数量积的几何意义
向量的投影：|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影，当θ为锐角时，它是正值；当θ为钝角时，__它是负值__；当θ为直角时，它是零．
a·b的几何意义：数量积a·b等于__a的长度|a|__与b在a方向上的投影|b|cosθ的乘积．
4．平面向量数量积的性质及其坐标表示
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角.
结论 模 数量积 夹角 几何表示 |a|＝a·a 坐标表示 |a|＝__x1＋y1__ 22a·b＝|a|·|b|cosθ cosθ＝ |a|·|b| a·b＝x1x2＋y1y2 cosθ＝a·bx1x2＋y1y2 22x2x21＋y1·2＋y2 a⊥b的 充要条件 |a·b|与 |a||b|的 关系 a·b＝0 |a·b|≤|a|·|b|(当且仅当ax1x2＋y1y2＝0 |x1x2＋y1y2|≤ ∥b时等号成立) 22x2x21＋y1·2＋y2 5.平面向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ∈R)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
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