高考数列压轴题的若干破解策略_1000006832411511

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复习参考 · 数学通讯(2OO8年第 9期)

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高考数列压轴题的若干破解策略

张丰远

(广东省恩平市第一中学,529400)

近年来,高考数列 的考 力度很大,尤其最后

一 , 合性 , 大部分考生感 度 大.在 些 中,有一 出了 推关系式,其 推式中 含一定的 律,常 思路 以切人,采用一些特 的策略才能破解.本文通 分析近几年 高考 ,

介 几种破解策略,希望 大家有所启 .

1 相关方法和策略 (1)放 法: 推式 行放 形, 是 理数列不等式 的

常用技巧.

(2)方程法:令 ”取适当两数得方程 ,加减消元,化 a +I+pa +qa 一I=0形式,再 一步求解.适用于已知 推式 方程式,求通 性 问题,如2005、2006年江 高考 .

(3) 数法:当 推式为变量相乘或有乘方关系 ,可

考 两 取 数,使之变为 性 推式,再用迭加法或迭代法 求通 ,如 2005年重 22 .

(4)逆求法:当已知 推关系 6 +l= 6 )或

6 = )形式 ,直接 推推不动,此 可逆求 6

=g(6 I)或 n =g(6 ),再反向 推或代人另一个 推式 形,将

会收到意想不到的效果,如 2005年

福建 22题. (5)跳 通 法:当已知的 推式是非 性的复 形式 ,一般 求出通 公式.此 不求通项,直接 行下一步的构造、放缩、 形等步骤,如2004年湖北 22 、2005年辽宁 22 和 2007年广东 21 .

(6)特殊化法: 于;1∈N 参数的取 范围问题,直接 以求解,此 可先求当 ”=1或 2 特殊状 的取 范围,再用数学 法证明它对 ”∈ N 时也成立,如 2003年全国22 、2004年湖北 22 和 2005年福建 22 .

2

典型 与分析 2

.1 放缩法 例 1 (2004午全国高考 22 )已知数列{a }

的前 项和S 足:S =2a +(一1)”,\ (1)求数列{n }的通 公式;

(2)证明: 任意整数 优>4,有 +上 +?+

a4

a5

1 < 7

分析 (1)从略;

(2)由(1)得

n

=

鲁[2

一(一1)”],

左 =号 1+芝1+?+

]

3

=

了1+吉+击+ +?+

] =

{[+号+了

1+

+ +?] < 1 了4+了1+ + +?]

< 1

了4+了1 1+ +?+ )]

=

号+÷(1一 )< <詈.

点评本题运用了放缩法,关键是把 +卉+

1+

放 成 + 1+ 1+? 在 明数列不等

式 时,一般采用此法.

2.2 方程法 例 2 (2005年江 高考 23 ) 数列 { }的前 \和 S ,

已知 I=1, 2=6,a3=ll,且(5

8)S +I一(5n+2)S,=An-I-B,;1=1,2,3,?,其中 A, B 常数.

(1)求 A与 B的 ; ( ) 明:数列{n } 等差数列.

分析 第(1) 然令;1=1,2,解方程 得 A

=一20。B=一8.第 (2)问的常 思路是先求出表达式, 再 它是等差数列.但由已知方程式无法求

出 n 思路中断.略解 ;本 的 推式 方程形式,故考 用方 程法:

{(5n一8)S +I一(5n+2)S,=一20n一8 ① l(5n一

13)S 一(5n一3)S 一l=一20n+12 ②

① 一② :(5n一8)S +l一(10n一11)S +(5\一

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3)S 一1=一20

一1得:

数学通讯(2008年第9期)

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+ a3=

,迭代无法进行下去.略解:用逆

下标 变为 (5n一13)Sn一(10n一21)Sn一1+(5n一8)Sn一2

求法,由已知6” j ,逆求得 一J1+1,出

=一20

③ 一④得

Sn+1—3S +3Sn一1一 Sn一2=0

贝Un +l一2n +n 一l=0,( >1)

. .

数列{n }为等差数列.

点评 本题反复使用了方程法消元求解.此法适 用于已知递推式为方程形式,求通项问题.

2.3 对数法

例 3 (2005年重庆高考22题)数列 {n }满足

nl 1且

。 (1+

。十

) + ( ≥1)·

(1)用数学归纳法证明:‰≥2(,≥2);

(2)已知不等式 ln(1+ )<.32对z>0成立,证 明:

n

~,l+l≤ (1+

)an+

(1+1

2 +

)nn,两边取对数,再把 ln(1+z)

~rlnan+1'

-l<去+ 一 测ln lnaI<

丢+1+?+ +-一 =2一 ~ <2,即

lna

,<2,故 n

点评 本题联合采用了对数法,放缩法,跳过通项法等,其中取对数是关键.当递推式为变量相乘或有乘方关系时,可考虑用对数法.

2.4 逆求法

例 4 (2005年福建高考 22题)已知数列{n }

满足nl=n,n+l:÷+1,当n=1时,得到无穷数

列:1,2,号要,昔,?;当n。:一 ,得到有 数列:

{,一1,0.(1)略;(2)设数列{b }满足 bl=一1,

+l ,( EN ),求证:n取数列 { }中任一个数,都可得到一个有穷数列 { }.

分析 有穷数列的特征是末项为 0,故只须证其末项为 0即为有穷数列.若按常规解法:设 nl=

现了有规律的迭代关系,可求出各项,’.’ 2=l+

bn-1.Ⅱ3 + + bn-2,? n_ 6l

1,..n +l=0,命题获证.

点评 当递推关系为 b+l=f(bn)或 bn:

n矗)形式,求通项性质问题时,考虑用此法. 2

.5 跳过通项法 例 5 (2007年广东高考 21题 )已知函数 f(x)=z +z一1,a、卢是方酎 (z):0的两个根(a 6一利用 n l 1+上去找为 0的项 ,n2 1+

>卢),f (z)是f(x)的导数,设 。l=1, +l=n 一

: 笋 ,(=1,2,?).(1),(2)从略.(3)已知 任

意的正整数 有an>a,记 6 :l“an-fl

(nn一1一 a ):,4l掣 ,

‘ ” ‘

·

6 :2ln

nn一1一 a

=2b 一l,即{ }是首项为

bl,公比为2的等比数列.以下从略.

).求数列{b }的前 7\/项和 .

( =1,2,

点评 当已知的递推式是非线性的复杂形式时,可尝试用跳过通项法去做.

分析 常规思路是:先求出通项公式 ,再

代入已知得 b ,从而求出 .易得:

+ 。=

2.6 特殊化法

例 6 (2004年湖北高考 22题)已知 n>0,数

2+ 1

列{n}满足nl:n,n+l:÷+n, ∈N .

(1)已知 { }极限存在且大于 0,求 A=lim

但由①式求通项公式异常复杂,远超出大纲范围.此时不宜强行求通项 n ,而应果断 nn; 跳过通项,直

接探究 b 关系式.略解: =

.旦 : =!二 / =!二 nn— a 2an一1

十 l 2an~1+1

a n

(2)设 b,= 一A, ∈N ,证明:

b

b,.

n+l

若{bn{≤ ,对 nEN 都成立,求 n的取

,卢:(3)

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