第4讲 包含与排除
内容概述
有重叠部分的若干对象的计数问题。能利用文氏图进行辅助分析，弄清文氏图中每部分的含以；结合文氏图理解两个对象和三个对象的容斥原理；灵活处理具有一些不确定性的计数问题，以及其他形式的重复计数问题。
兴趣篇
1．某次练习共有2道题，做对第一题的有40人，这40人中有13人第2题做错了，那么第1题第2题全对的共有多少人？
答案：27人
解析：40-13=27人。
2．暑假里，萱萱和小高一起讨论“金陵十八景”。他们发现十八景中的每一处都有人去过，而且有五处是两人都去过的。如果萱萱去过其中的十二景，那么小高去过其中的几景？
答案：11景
解析：方法一：画文氏图：
圆A是萱萱去过的地方，圆B是小高去过的地方。这样①号部分表示的是只有萱萱去过的地方，②号部分表示的是两个人都去过的地方，③号部分表示的是只有小高去过的地方。
根据条件知：萱萱去过12景，也就是圆A共12景；他们一共去了18景，所以圆A与圆B一共包括18景；于是③有18-12=6景。两人都去过的有5景，也就是说②有5景。
小高去过的是②和③，共5+6=11景。
方法二：运用容斥原理：对于两个对象A和B，有这样的公式：A与B的总数=A+B-A和B的重叠。
因此小高去过的有18+5-12=11景。
3．在一群小朋友中，有12人看过动画片《黑猫警长》，有21人看过动画片《大闹天宫》，并且有8人两部动画片都看过。请问：至少看过其中一部的小朋友有多少人？
答案：25人
解析：方法一：画文氏图：
圆A表示看过《黑猫警长》的人，圆B表示看过《大闹天宫》的人，这样②是两个都看过的人，有8人。
有12人看过《黑猫警长》，①②共12人；有21人看过《大闹天宫》，②③共21人；
只看过《大闹天宫》的人是③，它有21-8=13人。 因此，①②③加起来共有12+13=25人。 方法二：根据容斥原理，得12+21-8=25人。
4．一群小朋友共有40人，他们都喜欢吃馒头或者米饭中的一种或者两种，喜欢吃馒头的有30人，两种都喜欢吃的有7人，那么喜欢吃米饭的有多少人？
答案：17人
解析：方法一：画出文氏图解答（图略，可参考前两题）．
只喜欢吃馒头的有30-7=23人；喜欢吃米饭的有40-23=17人．
方法二：根据容斥原理，得40+7-30=17人。
5．五年级一班45个学生参加期末考试。成绩公布后，数学得满分的有10人，数学及语文均得满分的有3人，这两科都没有得满分的有29人。请问：语文成绩得满分的有多少人？
答案：9人
解析：方法一：画文氏图：
圆A表示数学得满分的人，圆B表示语文得满分的人．
由条件，数学得满分的有10人，对应到图中为①和②共10人．两科都得满分的是②，有3人．所以①有10-3=7人．两科都没有得满分的有29人，所以 ④有29人．
全班一共45人，它由①，②，③和④组成，因此③有45-29-7-3=6人， 语文得满分的是②和③，有3+6=9人．
方法二：根据容斥原理，得45-29+3-10=9人。
6．如图，已知甲、乙、丙三个圆的面积均为30，甲与乙、乙与丙、甲与丙重合部分的面积分别为6，8，5，同时被这三个圆覆盖的部分的面积为2。请问：
(1)只被甲或乙覆盖，却不被丙覆盖的部分的面积是多少？ (2)只被这3个圆中某一个圆覆盖的部分的面积是多少？
答案：(1)43 (2)58
解析：给图中各部分标注记号：
由条件知：甲乙重合