第11章 曲线积分与曲面积分
一．曲线积分
1.对弧长的曲线积分 （第一类）
?Lf（x,y）ds??f[?(t),?(t)]?'(t)??'(t)dt??(???) 典型例题：
(1)圆周
{x?acosty?asint0?t?1
2?20?L(x?2y2n2)ds??(aco2st?a2sint)n(acost）'2?(asint)'2dt?2?a2n?1
ds L是（1，0）到（0,1）的直线段 （2）线段:把线段表示出来 （x?y）L? 原式=
?（x?1?x)x?1dx?201 直线为：y=1-x
(3)圆弧的整个边界（分段）
?eL2x2?y2ds
22a2?a?0ex1dx??e40a(acos't)?(asin't)dt??0ex2?y21?1dx?ea(2??4a)?2
（4）参数方程 （公式）
（5）利用折线围成的封闭图形 （坐标分段）AB: ??x?2yzds A(0,0,0) B(0,0,2) C(1,0,2) D(1,3,2)
30??AB?0 BC:?ABBC?0 CD:?CDCD??12y20?1?0dy?y2?9
03?????BC???9
2.对坐标的曲线积分 （第二类）
?LP(x,y)dx?Q(x,y)dy??{P[?(t),?(t)]?'(t)?Q[?(t),?(t)]?'(t)dt
?2 {y?asitn0?t?1 ?Lxydx圆周 （x?a）?y2?a2(a?0)及x轴在一
x?acots?典型例题
（1）圆周
象限 逆时针
{L1：L2x?a?acosty?asint(0?t?1),L2:{x?xy?0
2a?L??L1???a(1?cost)asint(a?acost)'dt??0dx??0?2a3
（2）直线： 写出函数关系
?Lx2-y2dx，L:y?x2从（0,0）到（2,4）
dx?- 原式=（x-x）0?22456 15（3）圆弧
?Lydx?xd，y L: x=rcost,y=rsint上对应t从0到
?的一段弧 2（4）参数方程 （公式） （5）利用折线围成的封闭图形
?dx-dy?ydz ，A(1,0,0) B(0,1,0) C(0,0,1) ABCA封闭图形
?=
?AB??BC??CA??[1?(1?z)]dx??[?(1?z)'?(1?z)z']dz??1dx??2?10001131?1? 22二．格林公式
1.（D???Q?P-）dxdy??Pdx?Qdy
L?x?y1xdy-ydx 2?L2.面积 A?3.曲线积分;
?Lpdx?Qdy与路径无关??P?Q ??y?x P(x，y)dx?Q（x，y）dy同上 4.
使du?Pdx?Qdy ?Pdx?Qdy与路径无关?存在u（x，y）L u(x,y)??xx0p(x,y0)dx??Q(x,y)dy
y0y典型例题
(1)（y?e）dx?(3x?e)dyL?xyx2y2L:2?2?1的正向
ab解：(2)验
?p?Q?1，?3?y?x证
2??xoy
3L???2dxdy?2?ab
D整
2个面
2内
y存在u（x，y）使
du= （3xy?8xy）dx?（x?8xy?12ye）dy并求u（x，y）解：
?p?Q??3x2?16xy，?存在 ?y?xxy00U(x，y)??0dx??(x3?8x2y?12yey)dy?c?x3y?4x2y2?12(y?1)ey?c
三．曲面积分
1.对面积的曲面积分 （第一类）
ds???f（x，y,z）?Dxy?f[x,y,z(x,y)]1?zx?zydxdy 22典型例题
（1）球面。
???1?4zds,其中?是z?x2?y2上z?1的曲面部分
2解：Dxy：x?y?12?12????Dxy??1?4x2?4y21?4x2?4y2dxdy
=
?0d??（1?4r2）rdr?2??03?3? 2x2?y2与平面z?1所围成的
（2）圆周。按面累加
ds,其中?是锥面z?计算（x?y）???22解：锥面?1平面?2 投影xoy为D：x2?y2?1
?2DD????????????(x2?y2)2dxdy???(x2?y2)dxdy???（1?2（）x2?y2）dxdy
?1D（1?=
32）d?r??dr?002?11?2? 22.对坐标的曲面积分（第二类）
??Pdydz???Qdzdx???Rdxdy???Pdydz?Qdzdx?Rdxdy???(Pcos??Qcos??Rcos?)ds?????计算 注意侧的问题 正负号
dxdy???R(x,y,z(x,y))dxdy yz zx 同理 ??R（x,y,z）?Dxy典例：
1.计算
（x???2?y2?z2）x2?y2dxdy,其中?是下半球面z?-a2?x2?y2下侧，a为正数
222解：?在xoy投影x?y?a????Dxy222ax?ydxdy ??