湖北汽车工业学院
概率论与数理统计考试试卷
一、（本题满分24，每小题4分）单项选择题（请把所选答案填在答题卡指定位置上）： 【C】1．已知A与B相互独立，且P(A)?0，P(B)?0．则下列命题不正确的是 (A)P(A|B)?P(A)． (B)P(B|A)?P(B)． (C)P(A)?1?P(B)． (D)P(AB)?P(A)P(B)． 【B】2．已知随机变量X的分布律为
X P 则E(5X?3)等于
?2 0 2 0.4 0.3 0.3 (A) 8． (B) 2． (C)?5． (D)?1．
【A】3．设随机变量X与Y均服从正态分布X~N(?,42)，Y~N(?,52)，而
p1?P{X???4},p2?P{Y???5}，则
(A)对任何实数?，都有p1?p2． (B)对任何实数?，都有p1?p2． (C)只对?的个别值，才有p1?p2． (D)对任何实数?，都有p1?p2．
【C】4．在总体X中抽取样本X1,X2,X3,则下列统计量为总体均值?的无偏估计量的是
X1X2X3XXX??． (B) ?2?1?2?3． 123222XXXXXX (C) ?3?1?2?3． (D) ?4?1?2?3．
333444(A) ?1?【D】5. 设X~t(n)，则X~
2(A)?2(n)． (B)?2(1)． (C)F(n,1)． (D)F(1,n)．
【B】6．随机变量X~N(0,1)，对于给定的??0???1?，数u?满足P(u?u?)??， 若P(X?c)??，则c等于
(A) u?2． (B) u(1??)2． (C) u1??． (D) u1??2．
二、（本题满分24，每小题4分）填空题（请把你认为正确的答案填在答题卡指定位置上）：
?，A??1,2?,B??2,3?,C??4,5?,则A(B?C)??1,3,4,5,6?. 1. 设样本空间???1,2,3,4,5,62. 某班级学生的考试成绩数学不及格的占15%，语文不及格的占5%，这两门都不及格的占 3%。已知一学生数学不及格，那么他语文也不及格的概率是
k1. 5?1?3. 设离散型随机变量X的分布列为P?X?k??a??，k?1,2,3,?，则a?2.
?3?24. 已知E(X)??2，E(X)?5，那么D(2015?3X)?9.
5. 设随机变量X与Y独立且都服从?0,3?上的均匀分布，则P?min?X,Y??2??1. 96. 设某种电子管的使用寿命服从正态分布N(?,3002)，?未知，从中随机抽取16个进行检
验，测得平均使用寿命为1950小时，则未知参数?的置信水平为0.95的置信区间为
?1803,2097?.
【特别提醒】（1）以下各题的求解过程必须按题号写在答题卡上指定的方框内，题号对应错误以及超出方框部分的解答均无效.（2）答题卡上的任何位置不得用胶带粘贴，不得用涂改液涂改，否则将不被阅卷系统识别.
三、（本题满分10分）一个工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种螺钉，每个车间的产量分
别占总产量的25%、35%、40%，如果每个车间成品中的次品率分别为5%、4%、2%，从全厂产品中任意抽出一个螺钉，试问它是次品的概率是多少？ 解：设事件A1,A2,A3分别表示抽出的螺钉来自甲、乙、丙三个车间，D表示抽出的螺
钉为次品，
P(A1)?0.25， P?A2??0.35， P(A3)?0.4；
P(D|A1)?0.05 P(D|A2)?0.04 P(D|A3)?0.02 由全概率公式，得 P(D)??P(A)P(D|A)
iii?13 ?0.25?0.05?0.35?0.04?0.4?0.02?0.0345
故从全厂产品中任意抽出一个螺钉，它是次品的概率是0.0345.
四、（本题满分10分）设连续型随机变量X的概率密度为：
?kex,x?0,??1 f(x)??,0?x?3,
?6x?3.??0,求(1)常数k的值；(2) P??0.5?X?2?.
解：（1）
????f(x)dx??kedx????0x3011dx?k??1 62 解得k?1 2 (2) P??0.5?X?2???2?0.5211x51f(x)dx??edx??dx??e?0.5
?0.5206620
五、（本题满分12分）设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为
?24(1?x)yf(xy)???00?x?1,0?y?x其它
(1) 求随机变量X与Y的边缘概率密度；
(2) 若X,Y分别为一矩形木板的长与宽,求木板面积的数学期望.
解：（1）当x?0或x?1时，fX(x)?0；
当0?x?1时，fp(x))?(x?XX????p(x,y)dy??24(1?x)ydy?12(1?x)x2；
0x?12(1?x)x20?x?1 故fX(x)??
0其它?当y?0或y?1时，fY(y)?0；
当0?y?1时，fp((y))?yYY????p(x,y)dx??24(1?x)ydx?12y2(y?2) ；
y0?12y2(y?2) 故fY(y)???0 （2） E(XY)? ? ?D10?y?1其它
??xyp(x,y)dxdy D?{(x,y)|0?x?1,0?y?x}
x00?dx?24xy(1?x)ydy
4 15六、（本题满分10分）设总体X的概率密度为
?1?x?,x?0?2xef(x;?)???
?x?0?0,其中参数?(??0)未知，如果取得样本观测值x1,x2,?,xn, 求?的最大似然估计值．
解：似然函数为 L(?)??f（x,?)???ii?1i?1nn12xien?xi??1?1?2ne??xii?1n?x
ii?1n取对数，得lnL(?)??2nln??1?i?1?xi??lnxi
i?1ndlnL(?)2n1n???令?x?0，
??2i?1id???得参数?的最大似然估计值为： ??xi?1ni2n?x 22七、（本题满分10分）设某厂生产的灯泡寿命(单位：h)X服从正态分布N(1000,?)，现随
机抽取其中16只，测得样本均值x=946，样本标准差s=120，则在显著性水平α?0.05下可否认为这批灯泡的平均寿命为1000小时？ 解：待验假设H0：? =1000，H1：? ≠1000
由于题设方差?2未知，故检验用统计量为t?由? =0.05?t?/2?t0.025(15)?2.13
又由x?946、s=120，可算得统计量观测值t为 t?X??0~t(n?1)
Snx??0946?1000???1.8
s/n120/16