第十章 10.1 第1课时
高考数学（理）黄金配套练习
一、选择题
1．从集合{1,2,3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为( )
A．5 B．4 C．6 D．8 答案 D
解析 分类考虑，当公比为2时，等比数列可为：1,2,4；2,4,8，当公比为3
3
时，可为：1,3,9，当公比为2时，可为4,6,9，将以上各数列颠倒顺序时，也是符合题意的，因此，共有4×2＝8个．
2．按ABO血型系统学说，每个人的血型为A、B、O、AB型四种之一，依血型遗传学，当父母的血型中没有AB型时，子女的血型有可能是O型，若某人的血型是O型，则其父母血型的所有可能情况有( )
A．6种 B．9种 C．10种 D．12种 答案 B
解析 找出其父母血型的所有情况分二步完成，第一步找父亲的血型，依题意有3种；第二步找母亲的血型也有3种，由分步乘法计数原理得：其父母血型的所有可能情况有3×3＝9种．
3．已知a，b∈{0,1,2，…，9}，若满足|a－b|≤1，则称a，b“心有灵犀”．则a，b“心有灵犀”的情形共有( )
A．9种 B．16种 C．20种 D．28种 答案 D
解析 当a为0时，b只能取0,1两个数；当a为9时，b只能取8,9两个数，当a为其他数时，b都可以取3个数．故共有28种情形．
4．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目．如要将这2个节目插入原节目单中，那么不同插法的种类为( )
A．42 B．30 C．20 D．12 答案 A
解析 将新增的2个节目分别插入原定的5个节目中，插入第一个有6种插法，插入第2个时有7个空，共7种插法，所以共6×7＝42(种)．
5．若从集合P到集合Q＝{a，b，c}所有的不同映射共有81个，则从集合Q到集合P所有的不同映射共有( )
A．32个 B．27个 C．81个 D．64个 答案 D
解析 可设P集合中元素的个数为x，由映射的定义以及分步乘法计数原理，可得P→Q的映射种数为3x＝81，可得x＝4.反过来，可得Q→P的映射种数为43
＝64.
6．有A、B两种类型的车床各一台，现有甲、乙、丙三名工人，其中甲、乙都会操作两种车床，丙只会操作A种车床，先从三名工人中选2名分别去操作以上车床，则不同的选派方法有( )
A．6种 B．5种 C．4种 D．3种 答案 C
解析 若选甲、乙2人，则包括甲操作A车床，乙操作B车床或甲操作B车床，乙操作A车床，共有2种选派方法；若选甲、丙2人，则只有甲操作B车床，丙操作A车床这1种选派方法；若选乙、丙2人，则只有乙B车床，丙操作A车床这1种选派方法．
∴共有2＋1＋1＝4(种)不同的选派方法．
7．某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有( )
A．30种 B．35种 C．42种 D．48种 答案 A
解析 分两类，A类选修课1门，B类选修课2门，或者A类选修课2门，B
12
类选修课1门，因此，共有C2C1C4＝30种选法，故选A. 3·4＋C3·
二、填空题
8．从正方体的6个表面中取3个面，使其中两个面没有公共点，则共有________种不同的取法．
答案 12
解析 分两步完成这件事，第一步取两个平行平面，有3种取法；第二步再取另外一个平面，有4种取法，由分步计数原理共有3×4＝12种取法．
9．在一宝宝“抓周”的仪式上，他面前摆着2件学习用品，2件生活用品，1件娱乐用品，若他可抓其中的二件物品，则他抓的结果有________种．
答案 10
解析 设学习用品为a1，a2；生活用品为b1，b2，娱乐用品为c，则结果有：(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，c)，(a2，b1)(a2，b2)，(a2，c)，(b1，b2)，(b1，c)(b2，c)，共10种．
10．由1到200的自然数中，各数位上都不含8的有________个． 答案 162个
解析 一位数8个，两位数8×9＝72个． 3位数
1 × × 有9×9＝81个， 另外
2 × × 1个(即200)，
共有8＋72＋81＋1＝162个．
11．有一名同学在填报高考志愿时，某批次的志愿需从A、B、C三所大学中选择两所大学作为第一志愿和第二志愿，剩余的一所大学和其他三所大学中再选择三所作为平行志愿，则该同学在这个批次填报志愿的方式有________．
答案 24种
解析 第一志愿和第二志愿的填报方式有A2平行志愿的填报方式有C33种，4种，
3
所以该生在这个批次填报志愿的方式有A23×C4＝24种．
12.
如图所示，有五种不同颜色分别给A、B、C、D四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有________．
答案 180种
解析 按区域分四步：第一步A区域有5种颜色可选； 第二步B区域有4种颜色可选； 第三步C区域有3种颜色可选；
第四步由于重复使用区域A中已有过的颜色，故也有3种颜色可选用．由分步计数原理，共有5×4×3×3＝180(种)
13．春回大地，大肥羊学校的春季运动会正在如火如荼地进行，喜羊羊、懒羊羊、沸羊羊、暖羊羊4只小羊要争夺5项比赛的冠军，则有________种不同的夺冠情况．
答案 45 三、解答题
14．某单位职工义务献血，在体检合格的人中，O型血的共有28人，A型血的共有7个，B型血的共有9个，AB型血的有3个．
(1)从中任选1人去献血，有多少种不同的选法？
(2)从四种血型的人中各选1个去献血，有多少种不同的选法？
解析 从O型血的人中选1个有28种不同的选法，从A型血的人中选1人有7种不同的选法，从B型血的人中选1人有9种不同的选法，从AB型血的人中选1个人有3种不同的选法．
(1)任选1人去献血，即无论选哪种血型的哪一个人，这件“任选1人去献血”的事情已完成，所以由分类计数原理，共有28＋7＋9＋3＝47种不同的选法．
(2)要从四种血型的人中各选1人，即要在每种血型的人中依次选出1人后，这件“各选1人去献血”的事情才完成，所以用分步计数原理，共有28×7×9×3＝5292种不同的选法．
15．标号为A、B、C的三个口袋，A袋中有1个红色小球，B袋中有2个不同的白色小球，C袋中有3个不同的黄色小球，现从中取出2个小球．
①若取出的两个球颜色不同，有多少种取法？ ②若取出的两个球颜色相同，有多少种取法？
解析 ①若两个球颜色不同，则应在A、B袋中各取一个或A、C袋中各取一个，或B、C袋中各取一个．
∴应有1×2＋1×3＋2×3＝11种．
②若两个球颜色相同，则应在B或C袋中取出2个．∴应有1＋3＝4种． 16．某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元的单片软件和70元的盒装磁盘．根据需要，软件至少买3张，磁盘至少买2盒．则不同的选购方式共有多少种？
答案 7