离散数学答案解析屈婉玲版第二版高等教育出版社课后答案解析

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题的真值:

(1) 对于任意x,均有

2=(x+

)(x

).

(2) 存在x,使得x+5=9. 其中(a)个体域为自然数集合. (b)个体域为实数集合. 解:

F(x):

2=(x+

)(x

).

G(x): x+5=9.

(1)在两个个体域中都解释为?xF(x),在(a)中为假命题,在(b)中为真命题。 (2)在两个个体域中都解释为?xG(x),在(a)(b)中均为真命题。

4. 在一阶逻辑中将下列命题符号化: (1) 没有不能表示成分数的有理数. (2) 在北京卖菜的人不全是外地人. 解:

(1)F(x): x能表示成分数 H(x): x是有理数

命题符号化为: ??x(?F(x)?H(x)) (2)F(x): x是北京卖菜的人 H(x): x是外地人

命题符号化为: ??x(F(x)?H(x)) 5. 在一阶逻辑将下列命题符号化: (1) 火车都比轮船快.

(3) 不存在比所有火车都快的汽车. 解:

(1)F(x): x是火车; G(x): x是轮船; H(x,y): x比y快 命题符号化为: ?x?y((F(x)?G(y))?H(x,y))

(2) (1)F(x): x是火车; G(x): x是汽车; H(x,y): x比y快 命题符号化为: ??y(G(y)??x(F(x)?H(x,y))) 9.给定解释I如下:

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(a) 个体域D为实数集合R. (b) D中特定元素=0.

(c) 特定函数(x,y)=xy,x,y?D.

(d) 特定谓词(x,y):x=y,(x,y):x

答:(1) 对于任意两个实数x,y,如果x

(2) 对于任意两个实数x,y,如果x-y=0, 那么x

(a) 个体域D=N(N为自然数集合). (b) D中特定元素=2. (c) D上函数

=x+y,(x,y)=xy.

(d) D上谓词(x,y):x=y.

说明下列各式在I下的含义,并讨论其真值. (1) xF(g(x,a),x)

(2) xy(F(f(x,a),y)→F(f(y,a),x)

答:(1) 对于任意自然数x, 都有2x=x, 真值0.

(2) 对于任意两个自然数x,y,使得如果x+2=y, 那么y+2=x. 真值0.

11. 判断下列各式的类型:

(1) (3)

yF(x,y).

解:(1)因为 p?(q?p)??p?(?q?p)?1 为永真式; 所以

为永真式;

(3)取解释I个体域为全体实数 F(x,y):x+y=5

所以,前件为任意实数x存在实数y使x+y=5,前件真; 后件为存在实数x对任意实数y都有x+y=5,后件假,] 此时为假命题

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再取解释I个体域为自然数N, F(x,y)::x+y=5

所以,前件为任意自然数x存在自然数y使x+y=5,前件假。此时为假命题。

此公式为非永真式的可满足式。 13. 给定下列各公式一个成真的解释,一个成假的解释。

(1) (F(x)

(2) x(F(x)G(x)H(x)) 解:(1)个体域:本班同学

F(x):x会吃饭, G(x):x会睡觉.成真解释

F(x):x是泰安人,G(x):x是济南人.(2)成假解释 (2)个体域:泰山学院的学生

F(x):x出生在山东,G(x):x出生在北京,H(x):x出生在江苏,成假解释. F(x):x会吃饭,G(x):x会睡觉,H(x):x会呼吸. 成真解释.

第五章部分课后习题参考答案

5.给定解释I如下: (a)个体域D={3,4}; (b)f(x)为f(3)?4,f(4)?3

(c)F(x,y)为F(3,3)?F(4,4)?0,F(3,4)?F(4,3)?1. 试求下列公式在I下的真值. (1)?x?yF(x,y)

(3)?x?y(F(x,y)?F(f(x),f(y))) 解:(1) ?x?yF(x,y)??x(F(x,3)?F(x,4))

? (F(3,3)?F(3,4))?(F(4,3)?F(4,4)) ?(0?1)?(1?0)?1

(2) ?x?y(F(x,y)?F(f(x),f(y)))

??x((F(x,3)?F(f(x),f(3)))?(F(x,4)?F(f(x),f(4))))

??x((F(x,3)?F(f(x),4))?(F(x,4)?F(f(x),3)))

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?((F(3,3)?F(f(3),4))?(F(3,4)?F(f(3),3)))

?((F(4,3)?F(f(4),4))?(F(4,4)?F(f(4),3)))

?((0?F(4,4))?(F(3,4)?F(4,3)))?((1?F(3,4))?(0?F(3,3)))

?(0?0)?(1?1)?(1?1)?(0?0)?1

12.求下列各式的前束范式。

(1)?xF(x)??yG(x,y)

(5)?x1F(x1,x2)?(H(x1)???x2G(x1,x2)) (本题课本上有错误) 解:(1) ?xF(x)??yG(x,y)??xF(x)??yG(t,y)??x?y(F(x)?G(t,y)) (5) ?x1F(x1,x2)?(H(x1)???x2G(x1,x2))

??x1F(x1,x2)?(H(x3)??x2?G(x3,x2)) ??x1F(x1,x4)??x2(H(x3)??G(x3,x2)) ??x1?x2(F(x1,x4)?(H(x3)??G(x3,x2)))

15.在自然数推理系统F中,构造下面推理的证明:

(1) 前提: ?xF(x)??y((F(y)?G(y))?R(y)),?xF(x)

结论: ?xR(x)

(2) 前提: ?x(F(x)→(G(a)∧R(x))), xF(x) 结论:x(F(x)∧R(x)) 证明(1)

①?xF(x) 前提引入 ②F(c) ①EI

③?xF(x)??y((F(y)?G(y))?R(y)) 前提引入 ④?y((F(y)?G(y))?R(y)) ①③假言推理 ⑤(F(c)∨G(c))→R(c)) ④UI ⑥F(c)∨G(c) ②附加 ⑦R(c) ⑤⑥假言推理 ⑧?xR(x) ⑦EG (2)

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①?xF(x) 前提引入 ②F(c) ①EI

③?x(F(x)→(G(a)∧R(x))) 前提引入 ④F(c)→(G(a)∧R(c)) ③UI

⑤G(a)∧R(c) ②④假言推理 ⑥R(c) ⑤化简 ⑦F(c)∧R(c) ②⑥合取引入 ⑧?x(F(x)∧R(x)) ⑦EG

第六章部分课后习题参考答案

5.确定下列命题是否为真:

(1)??? 真 (2)??? 假 (3)??{?} 真 (4)??{?} 真 (5){a,b}?{a,b,c,{a,b,c}} 真 (6){a,b}?{a,b,c,{a,b}} 真 (7){a,b}?{a,b,{{a,b}}} 真 (8){a,b}?{a,b,{{a,b}}} 假

6.设a,b,c各不相同,判断下述等式中哪个等式为真: (1){{a,b},c,?} ={{a,b},c} 假 (2){a ,b,a}={a,b} 真 (3){{a},{b}}={{a,b}} 假 (4){?,{?},a,b}={{?,{?}},a,b} 假 8.求下列集合的幂集:

(1){a,b,c} P(A)={ ?,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}} (2){1,{2,3}} P(A)={ ?, {1}, {{2,3}}, {1,{2,3}} } (3){?} P(A)={ ?, {?} }

(4){?,{?}} P(A)={ ?, {1}, {{2,3}}, {1,{2,3}} }

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