中小学教育教学资料
3.2三角变换与解三角形
【课时作业】
A级
C5
1．(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC中，cos＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝()
25A．42B．30C.29D．25
C5
解析： ∵cos＝，25
3?5?22C
∴cosC＝2cos－1＝2×??－1＝－.
25?5?
?3?22222
在△ABC中，由余弦定理，得AB＝AC＋BC－2AC·BC·cosC＝5＋1－2×5×1×?－?＝32，
?5?
∴AB＝32＝42.故选A.答案： A
2．(2018·山东菏泽2月联考)已知α∈?A.
4222
B．±75
?3π，2π?，sin?π＋α
??2
?2???＝1，则tan(π＋2α)＝()
?3?
4222C．±D．
75解析： ∵α∈?
?3π，2π?，sin?π＋α?＝1，∴cosα＝1，sinα＝－22，由同角三角函数的商数
??2?3
33?2???
＝
42
，故选A.7
sin α2tan α－42
关系知tanα＝＝－22.∴tan(π＋2α)＝tan2α＝＝
cos α1－tan2α1－－22答案： A
π
3．已知△ABC中，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若A＝，b＝2acosB，c＝1，则△ABC的
3
面积等于()A.
33B．2433D．68
C.
解析： 由正弦定理得sinB＝2sinAcosB，
ππ故tanB＝2sinA＝2sin＝3，又B∈(0，π)，所以B＝，
33
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π
又A＝＝B，则△ABC是正三角形，
31133
所以S△ABC＝bcsinA＝×1×1×＝.2224答案： B4．若α∈?77
A.B．－9911C．－D．99
?π，π?，且3cos2α＝4sin?π－α
??4
?4??
?，则sin2α的值为()
??
?π?22
解析： 3(cosα－sinα)＝22(cosα－sinα)，因为α∈?，π?，所以cosα－sinα≠0，所
?4?
2281
以3(cosα＋sinα)＝22，即cosα＋sinα＝，两边平方可得1＋sin2α＝?sin2α＝－.
399答案： C
5．(2018·南昌市第一次模拟测试卷)已知台风中心位于城市A东偏北α(α为锐角)的150千米处，以v千米/时沿正西方向快速移动，2.5小时后到达距城市A西偏北β(β为锐角)的200千米处，若cosα
3
＝cosβ，则v＝()4A．60B．80C．100D．125
解析： 如图，台风中心为B,2.5小时后到达点C，则在△ABC中，＋cosα
2
ABsinα＝ACsinβ，即sinα＝sinβ，又cosα＝cosβ.∴sin2α
＝
16293222
sinβ＋cosβ＝1＝sinβ＋cosβ，∴sinβ＝cosβ， 9164
4
334
344334
∴sinβ＝，cosβ＝，∴sinα＝，cosα＝，∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝×－55555543π222222
×＝0，∴α＋β＝，∴BC＝AB＋AC，∴(2.5v)＝150＋200，解得v＝100，故选C. 552
答案： C 6．化简：
π－αα
cos22π－ααcos2
2
＋sin 2α＋sin 2α
＝________.
解析：
2sin α＋2sin α·cos α2sin α＋cos α
＝＝
11
＋cos α＋cos α22
＝4sinα.
答案： 4sinα
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sin 2A
7．在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则＝________.
sin C解析：
sin 2A2sin Acos A2ab2＋c2－a22×425＋36－16
＝＝·＝·＝1. sin Csin Cc2bc62×5×6
答案： 1
8．(2018·开封市高三定位考试)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，btanB＋btanA＝2ctanB，且a＝5，△ABC的面积为23，则b＋c的值为________．
sin Bsin Asin B
解析： 由正弦定理及btanB＋btanA＝2ctanB，得sinB·＋sinB·＝2sinC·，即cos Bcos Acos BcosAsinB＋sinAcosB＝2sinCcosA，亦即sin(A＋B)＝2sinCcosA，故sinC＝2sinCcosA．因为sinC≠0，1π122
所以cosA＝，所以A＝.由面积公式，知S△ABC＝bcsinA＝23，所以bc＝8.由余弦定理，知a＝b＋
232
c2－2bccosA＝(b＋c)2－3bc，代入可得b＋c＝7.
答案： 7
9．(2018·浙江卷)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点
??P?－，－?.
55?
?
(1)求sin(α＋π)的值；
5
(2)若角β满足sin(α＋β)＝，求cosβ的值．
134??3
解析： (1)由角α的终边过点P?－，－?，
5??54
得sinα＝－. 5
4
所以sin(α＋π)＝－sinα＝.
54??3
(2)由角α的终边过点P?－，－?，
5??53
得cosα＝－，
5
512
由sin(α＋β)＝，得cos(α＋β)＝±. 1313由β＝(α＋β)－α，
得cosβ＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα， 5616
所以cosβ＝－或cosβ＝.
6565
1
10．(2018·北京卷)在△ABC中，a＝7，b＝8，cosB＝－.
7(1)求∠A；
34