2019年高考数学大二轮复习专题三三角函数3-2三角变换与解三角形练习

中小学教育教学资料

3.2三角变换与解三角形

【课时作业】

A级

C5

1.(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC中,cos=,BC=1,AC=5,则AB=()

25A.42B.30C.29D.25

C5

解析: ∵cos=,25

3?5?22C

∴cosC=2cos-1=2×??-1=-.

25?5?

?3?22222

在△ABC中,由余弦定理,得AB=AC+BC-2AC·BC·cosC=5+1-2×5×1×?-?=32,

?5?

∴AB=32=42.故选A.答案: A

2.(2018·山东菏泽2月联考)已知α∈?A.

4222

B.±75

?3π,2π?,sin?π+α

??2

?2???=1,则tan(π+2α)=()

?3?

4222C.±D.

75解析: ∵α∈?

?3π,2π?,sin?π+α?=1,∴cosα=1,sinα=-22,由同角三角函数的商数

??2?3

33?2???

42

,故选A.7

sin α2tan α-42

关系知tanα==-22.∴tan(π+2α)=tan2α==

cos α1-tan2α1--22答案: A

π

3.已知△ABC中,内角A,B,C所对边长分别为a,b,c,若A=,b=2acosB,c=1,则△ABC的

3

面积等于()A.

33B.2433D.68

C.

解析: 由正弦定理得sinB=2sinAcosB,

ππ故tanB=2sinA=2sin=3,又B∈(0,π),所以B=,

33

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π

又A==B,则△ABC是正三角形,

31133

所以S△ABC=bcsinA=×1×1×=.2224答案: B4.若α∈?77

A.B.-9911C.-D.99

?π,π?,且3cos2α=4sin?π-α

??4

?4??

?,则sin2α的值为()

??

?π?22

解析: 3(cosα-sinα)=22(cosα-sinα),因为α∈?,π?,所以cosα-sinα≠0,所

?4?

2281

以3(cosα+sinα)=22,即cosα+sinα=,两边平方可得1+sin2α=?sin2α=-.

399答案: C

5.(2018·南昌市第一次模拟测试卷)已知台风中心位于城市A东偏北α(α为锐角)的150千米处,以v千米/时沿正西方向快速移动,2.5小时后到达距城市A西偏北β(β为锐角)的200千米处,若cosα

3

=cosβ,则v=()4A.60B.80C.100D.125

解析: 如图,台风中心为B,2.5小时后到达点C,则在△ABC中,+cosα

2

ABsinα=ACsinβ,即sinα=sinβ,又cosα=cosβ.∴sin2α

16293222

sinβ+cosβ=1=sinβ+cosβ,∴sinβ=cosβ, 9164

4

334

344334

∴sinβ=,cosβ=,∴sinα=,cosα=,∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=×-55555543π222222

×=0,∴α+β=,∴BC=AB+AC,∴(2.5v)=150+200,解得v=100,故选C. 552

答案: C 6.化简:

π-αα

cos22π-ααcos2

2

+sin 2α+sin 2α

=________.

解析:

2sin α+2sin α·cos α2sin α+cos α

==

11

+cos α+cos α22

=4sinα.

答案: 4sinα

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sin 2A

7.在△ABC中,a=4,b=5,c=6,则=________.

sin C解析:

sin 2A2sin Acos A2ab2+c2-a22×425+36-16

==·=·=1. sin Csin Cc2bc62×5×6

答案: 1

8.(2018·开封市高三定位考试)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,btanB+btanA=2ctanB,且a=5,△ABC的面积为23,则b+c的值为________.

sin Bsin Asin B

解析: 由正弦定理及btanB+btanA=2ctanB,得sinB·+sinB·=2sinC·,即cos Bcos Acos BcosAsinB+sinAcosB=2sinCcosA,亦即sin(A+B)=2sinCcosA,故sinC=2sinCcosA.因为sinC≠0,1π122

所以cosA=,所以A=.由面积公式,知S△ABC=bcsinA=23,所以bc=8.由余弦定理,知a=b+

232

c2-2bccosA=(b+c)2-3bc,代入可得b+c=7.

答案: 7

9.(2018·浙江卷)已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点

??P?-,-?.

55?

?

(1)求sin(α+π)的值;

5

(2)若角β满足sin(α+β)=,求cosβ的值.

134??3

解析: (1)由角α的终边过点P?-,-?,

5??54

得sinα=-. 5

4

所以sin(α+π)=-sinα=.

54??3

(2)由角α的终边过点P?-,-?,

5??53

得cosα=-,

5

512

由sin(α+β)=,得cos(α+β)=±. 1313由β=(α+β)-α,

得cosβ=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα, 5616

所以cosβ=-或cosβ=.

6565

1

10.(2018·北京卷)在△ABC中,a=7,b=8,cosB=-.

7(1)求∠A;

34

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