31.在随机事件A，B，C中，A和B两事件至少有一个发生而C事件不发生的随机事件可表示为 [ ] A. AC?BC B. ABC C. ABC?ABC?ABC D.A?B?C 32.袋中有5个黑球，3个白球，大小相同，一次随机地摸出4个球，其中恰有3个白球的概率为 [ ]
35?3?14?3?1A. B. ?? C. C8 D. ??48C8?8?8?8?833.已知0＜P?B?＜且P?A1?A2?|B?P?A1|B??P?1,0＜P?A1?＜1,0＜P?A2?＜1，A2B|53???,则下
列选项成立的是 [ ] A. B. C.
P?A1?A2?|B?PA1|B?PA2|B??????
P??A1?A2?|B??P?A1??P?A2?
P?A1B?A2B??P?A1?P?B|A1??P?A2?P?B|A2?D. P?B??P?A1?P?B|A1??P?A2?P?B|A2?
三、解答题： 1.设函数
1?xsin?b?x?f(x)??a?sinx?x?x?0x?0 x?0问：（1）a,b为何值时，f(x)在x?0处有极限存在？（2）a,b为何值时，f(x)在x?0处连续？
x3?ax2?b?8，试确定a和b的值。 2.已知limx?2x?2?x1??13.设f(x)??e, x?0，求f(x)的间断点，并说明间断点的所属类型
??ln(1?x),?1?x?04.求方程中y是x的隐函数的导数。 （1）xy?e?e?1，求y?。
xydyd2y（2）设y?sin(x?y)，求，。 2dxdx5.设z?z(x,y)由方程z?x?ez?y?2z所确定，求。
?y?x 6
6.设函数f(x)在[0,1]上可导，且0?f(x)?1，对于（0 ,1）内所有x有f'(x)?1，证明在（0,1）内有且只有一个数x使f(x)?x。
7.求函数y?x2(1?x)?1的单调区间和极值。
8.在过点P(1,3,6)的所有平面中，求一平面,使之与三个坐标平面所围四面体的体积最小。 9.求下列积分 （1）
???1x131dx （2）
x2?y2?a2??a2?x2?y2d?
（3）
??yd?，D由x?y?1，x?y?1，x?0的围成。
D10.判别级数
an(?1)(1?cos)（常数a?0）的敛散性。如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛? ?nn?1?11.判别级数
?(?1)nn?2?1的敛散性。如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛? lnnxn12.求幂级数?在收敛区间上的和函数S(x)。
n?1n(n?1)?13.求解微分方程。
2（1）2x1?ydx?ydy?0的所有解。 （2）xy??y?1x2?y2 （3）y??ycosx?sin2x
2
四、求解题：
1.计算下列行列式：
（1） （2）
1123345607890
2.设矩阵A，B满足矩阵方程AX ＝B，其中A??20400?1050031
?12??30?，，求X 。 B??????10??02??10?1???3.设矩阵 A??314????100??
?1?? 试计算A-1B．
B??5?????4?? 7
4.设P?A??，P?B??求PBA。
131A，（1）若AB??，求PB2??A；（2）若A?B，求PB??；（3）若P?AB??1，8??
5.假设有3箱同种型号零件，里面分别装有50件，30件和40件，而一等品分别有20件，12件及24件。现在任选一箱从中随机地先后各抽取一个零件（第一次取到的零件不放回），试求先取出的零件是一等品的概率；并计算两次都取出一等品的概率。
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《高等数学》课程复习资料
参考答案
一、填空题：
1.解：(??,?2]?[2,??) 2.解：x?6 3.解：lim2x?sinxsinxsinx?lim(1?)?lim1?lim?1?0?1
x??x??x??x??xxx4.解：由所给极限存在知，4?2a?b?0，得b??2a?4,
x2?ax?bx?a?2a?4?lim??2 知a?2,b??8 又由：lim2x?2x?x?2x?2x?13(x?a)(x?1)aex?b??0，?a?0,b?1 5.解：?lim??，即limxx?0x?0(x?a)(x?1)1?be?b6.解：由f(x)是分段函数，x?0是f(x)的分段点，考虑函数在x?0处的连续性。
xsin因为 lim?x?01?0lim(x?1)?1f(0)?1 所以函数f(x)在x?0处是间断的 ?x?0x又f(x)在(??,0)和(0,??)都是连续的，故函数f(x)的间断点是x?0。 7.解：(n?1)!
28.解：(2x?1)或4x?4x?1
29.解：函数z的定义域为满足下列不等式的点集。
?4x?y2?0?y2?4x?y2?4x?????2?222221?x?y?0?x?y?1????0?x?y?1 ??2?2221?x?y?1x?y?0??????的定义域为：(x,y)|0?x2?y2?1且y2?4x} ?z
10.解：令x?y?u，x?y?v，则x?u?vu?v f(x?y)(x?y)?xy(x?y) ,y?22?f(u,v)?u?vu?vuu2x?(u?v2) f(x,y)?(x2?y2)
4222411.解：∵ f(0,1)?0?0?0
?x??x?0?x2?1?2 ?xfx?(0,1)?lim?x?0f(?x,1)?f(0,1)?lim?x?0?x 9
fy?(0,1)?lim?y?0f(0,?y?1)?f(0,1)0?0?lim?0 ?y?0?y?y12.解：
dz??2xsint?3t2cosy dt13.解：由导数与积分互为逆运算得：
dddf(x)dx?f(x) dx??314.解：两边对x求导得3x2f(x3?1)?1，令x?1?7，得x?2，所以f(7)?13x2?x?21 1215.解：∵
??11b1??e?kxdx?lim??e?kxd(?kx)?lim?e?kx0b???b???2k0kb0?111?lime?kb? ∴k?2 kb???kk4?a4x. 16.解：y?42记A???DDf(x,y)d?，则f(x,y)?Ax?y2，两端在D上积分有：A???Axd????y2d?，
DD2其中A，??y??xd??0（由对称性）
Dd???d???sin?d??002?a32?a44.
即 A?217.解：a2
3?a44，所以，f(x,y)?y?2?a44x.
18.解：令y?x，则原幂级数成为不缺项的幂级数
22n?1n?1y，记其各项系数为bn，因为?n2n?1?bn2n?12n?12n?1R?lim?limn??2lim?2，则?2?y?2?0?x2?2，故
n??bn??n??2n?12n?12n?1?2?x?2.
1?当x??2时，幂级数成为数项级数?(2n?1)，此级数发散，故原幂级数的收敛区间为
2n?1(?2,2).
1?1?3x?3x19.解：y??x?? 20.解：y?c1?c2e 21.解：y?e?c1cos2x?c2sin2x?
12?2?22.解：??1?n31 23.解：2 24.解：由对角线法则知，f(x)为二次多项式，一次项系数为4。 325.解：AB+BC+AC
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