21、（本小题满分14分）已知函数f(x)?a?x?111dt?(x?1)2?x??1? t（1）若f(x)在x?1处有极值，试问是否存在实数m，使得不等式
m2?tm?e2?14?f(x)对任意x??e?1,e? 及t???1,1?恒成立？若存在，求出m的取值
范围；若不存在，请说明理由.?e?2.71828??
（2）若a?1，设F(x)?f(x)?(x?1)?x ①求证：当x?0时,F(x)?0； ②设an?2111??????(n?N*),求证：an?ln2 n?1n?2n?(n?1)
2019届高二下学期第三次月考数学（理）试卷答案
一、选择题（本大题共有10小题，每小题5分，共50分） BABDB ACDBD
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
11、(?2,0) 12、?0,4? 13、35 14、x?y?5?0 15、
6 35三、解答题（4ⅹ12+13+14=75，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．解 ：（1）当z为实数时，
?a2?5a?6?0??a??1或a?62则有?a?7a?6有意义，∴?a??1
???a2?1∴a=6，即a=6时，z为实数. -----6分
?a2?5a?6?0?（2）当z为纯虚数时，有?a2?7a?6,
?0??a2?1?a??1且a?6∴?. ∴不存在实数a使z为纯虚数. -----12分
a?6?17、解：试验次数X可取值1、2、3 -----3分 P(x=1)=
1221112 P(x=2)= ?? P(x=3)= ??1? -----9分 3339339
X P 1 2 3 分布列为：
2 32 91 9-----10分 EX?1?22113-----12分 ?2??3??3999，
212?23?1?2，x?f(x)?2?2. 18．解：（1）x2?f(x1)?，x3?f(x2)?4321324?2?25322（2）根据计算结果，可以归纳出 xn?. ………………………… 5分
n?12①当n?1时，x1??1，与已知相符，归纳出的公式成立． ……… 6分
1?12*②假设当n?k（k?N）时，公式成立，即xk?， ……………8分
k?12?22xk2k?1?4?那么，xk?1?． ?2xk?2?22k?4(k?1)?1k?1所以，当n?k?1时公式也成立． ………………………… 11分
2*综上，xn?对于任何n?N都成立. …………………………12分
n?12?
19．解：（1）证一：应用均值不等式，得：
a2b2yxyx?(a?b)2， (?)(x?y)?a2?b2?a2?b2?a2?b2?2a2b2xyxyxyyxab
?b2，即?时上式取等号。 xyxy
2222证二：分析法 要证 即证ay(x?y)?bx(x?y)?(a?2ab?b)xy
ab2222即证ay?bx?2abxy显然它成立，所以原不等式成立且?时上式取等号-6分
xy
故当且仅当a22232(2?3)2（2）由（1）f(x)????25．
2x1?2x2x?(1?2x)当且仅当
20、解：（1）分别记甲、乙、丙通过审核为事件A1,A2,A3,
123，即x?时上式取最小值，即[f(x)]min?25 -----12分 ?52x1?2xP(E)?P(A1?A2?A3)?P(A1?A2?A3)?P(A1?A2?A3)?0.5?0.4?0.6?0.5?0.6?0.6?0.5?0.4?0.4?0.38………5分
（2）分别记甲、乙、丙获得自主招生入选资格为事件A,B,C,则P(A)=P(B)=P(C)=0.3--7分
试验次数X可取值0、1、2、3 -----8分
P(??0)?(1?0.3)3?0.343
P(??1)?3?(1?0.3)2?0.3?0.441P(??2)?3?0.3?0.7?0.189P(??3)?0.33?0.027……… 11分 ?的分布列是
2
? P 0 0.343 1 0.441 2 0.189 3 0.027 E(?)?1?0.441?2?0.189?3?0.027?0.9……… 12分D??npq?0.63…… 13分
或?服从二项分布E(?)?0.3?3?0.9，D(?)?npq?0.63 21、解：（1）因为f(x)?aln(x?1)?(x?1)，
所以f'(x)?2aa?2x?2． 由f'(1)?0，可得 ?2?2?0，a??8． x?12经检验a??8时，函数f(x)在x?1处取得极值，所以a??8． ………2分
∵1?e?1，f'(x)??82(x?1)(x?3)．?f?(x)?0, ?2x?2?x?1x?1x??e?1,e?时，f(x)min?f(e?1)??8?e2 ……4分
不等式m?tm?e?14?f(x)对任意x??e?1,e? 及t???1,1?恒成立，
2222222即m?tm?e?14?f(x)min?m?tm?e?14??8?e，
即m2?tm?e2?6?0对t???1,1?恒成立，令g(t)?m?mt?6，
2?m2?m?6?0，解得?2?m?2为所求. …7分 ?g(?1)?0,g(1)?0??2?m?m?6?0（2）①∵F(x)?f(x)?(x?1)?x?ln(1?x)?xF?(x)?21?x?1??0 1?x1?xF(x)在(0,??)上单调递减?F(x)?F(0)?0,
② 由①得ln(1?x)?x(x?0), 令x?即 ?ln
111，得ln(1? )?k?1k?1k?1111n?2n?32n?21k?2???????ln?ln?????ln ?ln()?n?1n?2n?(n?1)n?1n?22n?1k?1k?12n?2?ln2. …14分 n?1