《概率论与数理统计》习题及答案
第 一 章
1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A?‘出现奇数点’；
（2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A?‘两次点数之和为10’，B?‘第一次的点数，比第二次的点数大2’；
（3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A?‘球的最小号码为1’；
（4）将a,b两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，； A?‘甲盒中至少有一球’
（5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A?‘通过汽车不足5台’，。 B?‘通过的汽车不少于3台’
解 （1）S?{e1,e2,e3,e4,e5,e6}其中ei?‘出现i点’i?1,2,L,6， A?{e1,e3,e5}。
（2）S?{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6) (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； A?{(4,6),(5,5),(6,4)}； B?{(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}。
（3）S?{(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5) (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)}
A?{(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)} （4）S?{(ab,?,?),(?,ab,?),(?,?,ab),(a,b,?),(a,?,b),(b,a,?), (b,?,a),(?,a,b,),(?,b,a)}，其中‘?’表示空盒； A?{(ab,?,?),(a,b,?),(a,?,b),(b,a,?),(b,?,a)}。 （5）S?{0,1,2,L},A?{0,1,2,3,4},B?{3,4,L}。
2．设A,B,C是随机试验E的三个事件，试用A,B,C表示下列事件：
（1）仅A发生；
（2）A,B,C中至少有两个发生； （3）A,B,C中不多于两个发生； （4）A,B,C中恰有两个发生； （5）A,B,C中至多有一个发生。 解 （1）ABC
（2）ABUACUBC或ABCUABCUABCUABC；
（3）AUBUC或ABCUABCUABCUABCUABCUABCUABC； （4）ABCUABCUABC；
（5）ABUACUBC或ABCUABCUABCUABC；
3．一个工人生产了三件产品，以Ai(i?1,2,3)表示第i件产品是正品，试用Ai表示下列事件：（1）没有一件产品是次品；（2）至少有一件产品是次品；（3）恰有一件产品是次品；（4）至少有两件产品不是次品。
解 （1）A1A2A3；（2）A1UA2UA3；（3）A1A2A3UA1A2A3UA1A2A3；（4）A1A2UA1A3UA2A3。
4．在电话号码中任取一个电话号码，求后面四个数字全不相同的概率。 解 设A?‘任取一电话号码后四个数字全不相同’，则
4P126 P(A)?10??0.504 410250 5．一批晶体管共40只，其中3只是坏的，今从中任取5只，求 （1）5只全是好的的概率； （2）5只中有两只坏的的概率。 解 （1）设A?‘5只全是好的’，则
5C37 P(A)?5B0.662；
C40 （2）设B?‘5只中有两只坏的’，则
3C32C37 P(B)?B0.0354. 5C40 6．袋中有编号为1到10的10个球，今从袋中任取3个球，求 （1）3个球的最小号码为5的概率； （2）3个球的最大号码为5的概率. 解 （1）设A?‘最小号码为5’，则
C521 P(A)?3?；
C1012 （2）设B?‘最大号码为5’，则
2C41 P(B)?3?.
C1020 7．（1）教室里有r个学生，求他们的生日都不相同的概率； （2）房间里有四个人，求至少两个人的生日在同一个月的概率. 解 （1）设A?‘他们的生日都不相同’，则
rP365 P(A)?； r365 （2）设B?‘至少有两个人的生日在同一个月’，则
21222321C4C12P?CC?CP?C411141241212 P(B)?； ?41296或
4P4112 P(B)?1?P(B)?1?4?.
1296 8．设一个人的生日在星期几是等可能的，求6个人的生日都集中在一个星期中的某两天，但不是都在同一天的概率.
解 设A?‘生日集中在一星期中的某两天，但不在同一天’，则
2C7(26?2) P(A)??0.01107. 为什么 67 9．将C,C,E,E,I,N,S等7个字母随机地排成一行，那么恰好排成英文单词SCIENCE的概率是多少
解1 设A?‘恰好排成SCIENCE’
将7个字母排成一列的一种排法看作基本事件，所有的排法：
字母C在7个位置中占两个位置，共有C7种占法，字母E在余下的5个位置中占两个位置，共有C5种占法，字母I,N,C剩下的3个位置上全排列的方法
22共3！种，故基本事件总数为C7?C5?3!?1260，而A中的基本事件只有一个，
22故
P(A)?11?； 22C7?C5?3!1260 解2 七个字母中有两个E，两个C，把七个字母排成一排，称为不尽相异元素的全排列。一般地，设有n个元素，其中第一种元素有n1个，第二种元素