竞赛辅导（不定积分） （I）知识要点及方法
一、原函数与不定积分概念
1．原函数定义：设函数f(x)在区间I上有定义，若存在可导函数F(x)满足F?(x)?f(x)（或dF(x)?f(x)dx称函数F(x)是函数f(x)在区间I上的一个原函数．
2．原函数存在的条件：若f(x)在区间I上连续，则f(x)在区间I上一定有原函数． 注：f(x)连续是存在原函数的充分条件，不是必要条件，如：
11??2xsin?cos，x?0，??)内有 f(x)??在x?0点处不连续，但是f(x)在区间(??，xx?x?0，?0，1?2?xsin，x?0，原函数F(x)?? x?x?0.?0，3．原函数性质：若f(x)在区间I上有一个原函数F(x)，则F(x)?C是f(x)在区间I上的所有原函数．
4．不定积分定义：函数f(x)在区间I上的所有原函数F(x)?C称为f(x)在区间I上的不定积分，记作
?f(x)dx?F(x)?C．
5．不定积分与导数的关系： ① 先积分再求导（或微分）：
[f(x)dx]??f(x)，或 d[f(x)dx]?f(x)dx； ② 先求导（或微分）再积分：
???F?(x)dx?F(x)?C，或 ?dF(x)?F(x)?C．
6．不定积分的线性性： ①
?kf(x)dx?k?f(x)dx； ???② [f(x)?g(x)]dx?f(x)dx?g(x)dx．
三、不定积分的方法
1．拆项积分法：利用不定积分的线性性，将一个复杂的不定积分拆成若干个简单积分， 从而进行积分．
需要掌握一些常用拆项方法与技巧．
2．凑微分法：
?f[?(x)]??(x)dx??f[?(x)]d?(x)?F[?(x)]?C．
凑微分法主要用来解决复合函数的积分（确切地说是复合函数与中间变量导数之积的积分）．
要熟练常用的几个凑微分式子：
（1）
?f(ax?b)dx???11f(ax?b)d(ax?b) (a?0)； a? （2）x???f(ax??1?b)dx?1f(ax??1?b)d(ax??1?b)a?(a??0)；
（3）
f(lnx)dx??f(lnx)d(lnx)； xxx （4）ef(e)dx??f(ex)d(ex)；
（5） （6）
?f(arctanx)dx??f(arctanx)d(arctanx)； 21?x?f(arcsinx)1?x2dx??f(arcsinx)d(arcsinx)；
（7） （8） （9）
?f(sinx)cosxdx??f(sinx)d(sinx)； ?f(cosx)sinxdx???f(cosx)d(cosx)； ?f(tanx)sec2xdx??f(tanx)d(tanx)；
（10）
?f(secx)secxtanxdx??f(secx)d(secx)；
（11）
?f?(x)df(x)dx???lnf(x)?C． f(x)f(x) 对于以上之外的积分通常要考虑用中间变量作换元，进行试解，如积分
?dx1?ex可考虑的
换元有：① e?t；② 1?e?t；③ 3．换元积分法：
xx． 1?ex?t等（哪个换元更好，只能通过试解来确定）
t???1(x)?f(x)dxx??(t)??f[?(t)]??(t)dt．
此换元积分法主要用于解决无理函数的积分，要掌握几个常用的换元：
换元名称 被积函数特点 含有a2?x2 具体换元公式 换元目的 x?asint x?atant 去根号化为有理函 三角换元 含有x2?a2 含有x?atant含有nax?b x?asect t?nax?b t?nax?b cx?d数或三角函数有理式的积分 根式换元 根式换元 含有nax?b cx?d分母幂次比 倒代换 分子幂次相对较高
1x? t降低分母幂次 4．分部积分法：u(x)v?(x)dx?u(x)v(x)?u?(x)v(x)dx； 或u(x)dv(x)?u(x)v(x)?v(x)du(x)．
分部积分法主要用来解决两类不同的简单函数乘积的积分．分部积分成败的关键是掌 握好u(x)与v?(x)的选取，其原则是：
① v?(x)好找原函数； ② u(x)的导数简单；
③ 积分u?(x)v(x)dx要比积分u(x)v?(x)dx容易一些（至少不难）． 要掌握以下几种常见类型的分部积分： 被积函数类型 幂函数×三角函数 幂函数×指数函数 幂函数×对数函数 幂函数×反三角函数 指数函数×三角函数 条件 正整数次幂 正整数次幂 实数次幂 实数次幂 ??????u(x)取作 幂函数 幂函数 对数函数 反三角函数 v?(x)取作 三角函数 指数函数 幂函数 幂函数 目的 降低幂次 降低幂次 去掉对数函数 去掉反三角函数 u(x)与v?(x)任取，用两次分部积分，出现“打回头”