14级竞赛辅导教案(不定积分)

竞赛辅导(不定积分) (I)知识要点及方法

一、原函数与不定积分概念

1.原函数定义:设函数f(x)在区间I上有定义,若存在可导函数F(x)满足F?(x)?f(x)(或dF(x)?f(x)dx称函数F(x)是函数f(x)在区间I上的一个原函数.

2.原函数存在的条件:若f(x)在区间I上连续,则f(x)在区间I上一定有原函数. 注:f(x)连续是存在原函数的充分条件,不是必要条件,如:

11??2xsin?cos,x?0,??)内有 f(x)??在x?0点处不连续,但是f(x)在区间(??,xx?x?0,?0,1?2?xsin,x?0,原函数F(x)?? x?x?0.?0,3.原函数性质:若f(x)在区间I上有一个原函数F(x),则F(x)?C是f(x)在区间I上的所有原函数.

4.不定积分定义:函数f(x)在区间I上的所有原函数F(x)?C称为f(x)在区间I上的不定积分,记作

?f(x)dx?F(x)?C.

5.不定积分与导数的关系: ① 先积分再求导(或微分):

[f(x)dx]??f(x),或 d[f(x)dx]?f(x)dx; ② 先求导(或微分)再积分:

???F?(x)dx?F(x)?C,或 ?dF(x)?F(x)?C.

6.不定积分的线性性: ①

?kf(x)dx?k?f(x)dx; ???② [f(x)?g(x)]dx?f(x)dx?g(x)dx.

三、不定积分的方法

1.拆项积分法:利用不定积分的线性性,将一个复杂的不定积分拆成若干个简单积分, 从而进行积分.

需要掌握一些常用拆项方法与技巧.

2.凑微分法:

?f[?(x)]??(x)dx??f[?(x)]d?(x)?F[?(x)]?C.

凑微分法主要用来解决复合函数的积分(确切地说是复合函数与中间变量导数之积的积分).

要熟练常用的几个凑微分式子:

(1)

?f(ax?b)dx???11f(ax?b)d(ax?b) (a?0); a? (2)x???f(ax??1?b)dx?1f(ax??1?b)d(ax??1?b)a?(a??0);

(3)

f(lnx)dx??f(lnx)d(lnx); xxx (4)ef(e)dx??f(ex)d(ex);

(5) (6)

?f(arctanx)dx??f(arctanx)d(arctanx); 21?x?f(arcsinx)1?x2dx??f(arcsinx)d(arcsinx);

(7) (8) (9)

?f(sinx)cosxdx??f(sinx)d(sinx); ?f(cosx)sinxdx???f(cosx)d(cosx); ?f(tanx)sec2xdx??f(tanx)d(tanx);

(10)

?f(secx)secxtanxdx??f(secx)d(secx);

(11)

?f?(x)df(x)dx???lnf(x)?C. f(x)f(x) 对于以上之外的积分通常要考虑用中间变量作换元,进行试解,如积分

?dx1?ex可考虑的

换元有:① e?t;② 1?e?t;③ 3.换元积分法:

xx. 1?ex?t等(哪个换元更好,只能通过试解来确定)

t???1(x)?f(x)dxx??(t)??f[?(t)]??(t)dt.

此换元积分法主要用于解决无理函数的积分,要掌握几个常用的换元:

换元名称 被积函数特点 含有a2?x2 具体换元公式 换元目的 x?asint x?atant 去根号化为有理函 三角换元 含有x2?a2 含有x?atant含有nax?b x?asect t?nax?b t?nax?b cx?d数或三角函数有理式的积分 根式换元 根式换元 含有nax?b cx?d分母幂次比 倒代换 分子幂次相对较高

1x? t降低分母幂次 4.分部积分法:u(x)v?(x)dx?u(x)v(x)?u?(x)v(x)dx; 或u(x)dv(x)?u(x)v(x)?v(x)du(x).

分部积分法主要用来解决两类不同的简单函数乘积的积分.分部积分成败的关键是掌 握好u(x)与v?(x)的选取,其原则是:

① v?(x)好找原函数; ② u(x)的导数简单;

③ 积分u?(x)v(x)dx要比积分u(x)v?(x)dx容易一些(至少不难). 要掌握以下几种常见类型的分部积分: 被积函数类型 幂函数×三角函数 幂函数×指数函数 幂函数×对数函数 幂函数×反三角函数 指数函数×三角函数 条件 正整数次幂 正整数次幂 实数次幂 实数次幂 ??????u(x)取作 幂函数 幂函数 对数函数 反三角函数 v?(x)取作 三角函数 指数函数 幂函数 幂函数 目的 降低幂次 降低幂次 去掉对数函数 去掉反三角函数 u(x)与v?(x)任取,用两次分部积分,出现“打回头”

联系客服:779662525#qq.com(#替换为@) 苏ICP备20003344号-4