昆明理工大学2019年硕士研究生招生入学考试试题(A卷)
考试科目代码：843 考试科目名称 ：高等代数
考生答题须知
1． 所有题目（包括填空、选择、图表等类型题目）答题答案必须做在考点发给的答题纸上，做在本试题册上无效。
请考生务必在答题纸上写清题号。
2． 评卷时不评阅本试题册，答题如有做在本试题册上而影响成绩的，后果由考生自己负责。 3． 答题时一律使用蓝、黑色墨水笔或圆珠笔作答（画图可用铅笔），用其它笔答题不给分。 4． 答题时不准使用涂改液等具有明显标记的涂改用品。
一、填空题（每小题3分，共30分） 1. 当?= 时，f(x)?x??x与g(x)?x?4x??有公共根。 22?1?*2. 设A是n阶方阵，且|A|?2，则A???A??4??1? 。 3. 已知向量组?1,?2,?3线性无关， 则?1??1??2??3,?2??2??3,?3?2?1??2?3?3线性 。 4. 已知方阵A满足A?A?4A?5E?O，则(A?2E)32?1? 。 2225. 当k满足 时，二次型f(x1,x2,x3)??x1?2x2?(k?1)x3?2kx1x2?2x1x3是负定的。 6. 已知数域P上线性空间V中线性无关的元素组为?1,?2,?3,?4，现令?1??1??2,?2??2??3,?3??3??4,?4??4??1， 则子空间W?{k1?1?k2?2?k3?3?k4?4|k1,k2,k3,k4?P}的维数是 ，它的一组基为 。 7. 已知3阶方阵A的特征值为1,?1,2，则矩阵B?A?2A的特征值为 ，行列式|B|? 。 32??200???100?????8. 已知矩阵A??2x2?与矩阵B??020?相似，则x? ，?311??00y?????y? 。 ?t12???9. 设矩阵A??1t0?，则t满足 时，矩阵A为度量矩阵。 ?204???第 1 页 共 2 页
10. 已知R2?2的子空间W?L(A1,A2), 其中A1??准正交基为 。 二、计算题（共90分） 1. （15分）计算n阶行列式 ?11??01??,A??2??, 则W的一组标?00??11?110002?120030???n?1???00???n00???0. ?2?????????00?????????2?n???n?11?nTTT2T2. （15分）已知向量组?1?(?2,1,1),?2?(1,?2,1),?3?(1,1,?2),??(?2,?,?)，试问?取何值时，?可由?1,?2,?3线性表出，并写出其表达式。 3. （20分）求一个正交变换, 将二次型 f(x1,x2,x3)?xTAx?x12?4x22?4x32?4x1x2?4x1x3?8x2x3化为标准形。 4. (20分) 已知线性空间P的两组基为 4 (I)?1?(1,1,0,0),?2?(1,2,0,0),?3?(0,0,1,1),?4?(0,0,1,2);(II)?1?(2,1,0,0),?2?(3,1,0,0),?3?(0,0,2,3),?4?(0,0,1,2).(1) 求由基(I)到基(II)的过渡矩阵C； (2) 求向量???1?2?2??3??4在基(I)下的坐标。 T是V的线性变换。已知 5. （20分）设?1,?2,?3是欧氏空间V的一组标准正交基， T(?1)??1??2?2?3,T(?2)??1?2?2??3,T(?3)??2?1??2??3. (1) 证明T是一个对称变换； (2) 求V的一组标准正交基，使T在这组基下的矩阵为对角矩阵。 三、证明题 （共30分） 1. （15分） 设W,W1,W2都是线性空间V的子空间，W1?W,V?W1?W2。证明： dimW?dimW1?dim(W2?W)。 2. （15分）设?1和?2的是n维线性空间V的两个线性变换，证明：?2(V)??1(V)的充 分必要条件是存在线性变换?3使得?2??1?3。 第 2 页 共 2 页
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