(2)若a∥b，求|a-b|.
【解析】(1)若a⊥b，则a·b=(1，x)·(2x+3，-x)=1×(2x+3)+x(-x)=0，即x-2x-3=0，解得x=-1或x=3. (2)若a∥b，则1×(-x)-x(2x+3)=0，即x(2x+4)=0.解得x=0或x=-2. 当x=0时，a=(1，0)，b=(3，0)， |a-b|=|(1，0)-(3，0)|=|(-2，0)|=2. 当x=-2时，a=(1，-2)，b=(-1，2)， |a-b|=|(1，-2)-(-1，2)|=|(2，-4)|=2
.
2
10.(2015·南昌高一检测)设平面三点A(1，0)，B(0，1)，C(2，5)， (1)试求向量2(2)若向量(3)求向量
与在
+
的模.
的夹角为θ，求cosθ. 上的投影.
【解析】(1)因为A(1，0)，B(0，1)，C(2，5)， 所以
=(0，1)-(1，0)=(-1，1)，
=(2，5)-(1，0)=(1，5)， 所以2所以|2
++
=2(-1，1)+(1，5)=(-1，7)， |==(-1，1)，
=5
.
(2)由(1)知所以cosθ=
=(1，5)， =
.
，而|
|=
，所以向量
在
上的投影为
(3)由(2)知向量|
|cosθ=
×
与
=
的夹角的余弦为cosθ=
.
(20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分，共10分) 1.(2015·肇庆高一检测)已知向量则点P的坐标是( ) A.(-3，0) C.(3，0)
B.(2，0)
D.(4，0)
=(2，2)，
=(4，1)，在x轴上有一点P使
·
有最小值，
【解析】选C.设点P的坐标为(x，0)，则(-1)=x-6x+10=(x-3)+1.当x=3时，
2
2
=(x-2，-2)，=(x-4，-1).·=(x-2)(x-4)+(-2)×
·有最小值1，所以点P的坐标为(3，0).
·
的
【补偿训练】如图，边长为1的正方形ABCD的顶点A，D分别在x轴、y轴正半轴上移动，则最大值是( ) A.2
B.1+
C.
D.4
【解析】选A.令∠OAD=θ，由于AD=1，故OA=cosθ，OD=sinθ，∠BAx=-θ，AB=1， 故xB=cosθ+cos=cosθ+sinθ，yB=sin故
=cosθ，
=(cosθ+sinθ，cosθ)，
同理可求得C(sinθ，cosθ+sinθ)， 即所以是2.
2.已知向量a=(1，1)，b=(1，m)，其中m为实数，O为原点，当此两向量夹角在围是( ) A.(0，1) C.
∪(1，
)
B.D.(1，
)
变动时，m的范
=(sinθ，cosθ+sinθ)， ·
=(cosθ+sinθ，cosθ)·(sinθ，cosθ+sinθ)=1+sin2θ，
·
=1+sin2θ的最大值
【解析】选C.已知=(1，1)，即A(1，1)如图所示，
当点B位于B1和B2时，a与b夹角为故B1
，B2(1，
，即∠AOB1=∠AOB2=
，此时，∠B1Ox=-=，∠B2Ox=+
=，
)，又a与b夹角不为零，故m≠1，
∪(1，
).
由图易知m的范围是
二、填空题(每小题5分，共10分) 3.已知a=
，b=
，则向量
a+b与-2(
a-b)的夹角为________.
【解析】设夹角为θ，因为|a|=1，|b|=1，a·b=0， 所以(又|答案：
a+b)·[-2(a+b|=2，|-2(
a-b)]=-4， a-b)|=4，所以θ=
.
【补偿训练】已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，则△ABC的形状是( ) A.直角三角形 C.钝角三角形
B.锐角三角形 D.等边三角形 =(1，1)，所以
·
=0.
=
+
，则
【解析】选A.因为=(-3，3)，
4.(2015·安溪高一检测)若等边△ABC的边长为2
·
=________.
，平面内一点M满足
【解析】建立如图所示的直角坐标系，
根据题设条件即可知A(0，3)，B(-所以
=(0，1)，
=(-
，0)，M(0，2)，
·
=-2.
，-2).所以
答案：-2
【补偿训练】设A(a，1)，B(2，b)，C(4，5)为坐标平面上三点，O为坐标原点，若上的投影相同，则a与b满足的关系式为( ) A.4a-5b=3 C.4a+5b=14
与·
在
B.5a-4b=3 D.5a+4b=14 方向上的投影相同，
与
在
方向
【解析】选A.因为所以
·
=
所以4a+5=8+5b，所以4a-5b=3. 三、解答题(每小题10分，共20分)
5.(2015·日照高一检测)已知三点A(2，1)，B(3，2)，D(-1，4). (1)求证：AB⊥AD.
(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标并求矩形ABCD的对角线的长度. 【解析】(1)因为A(2，1)，B(3，2)，D(-1，4)， 所以又所以(2)因为
=(1，1)，·⊥⊥
=(-3，3).
=1×(-3)+1×3=0， ，即AB⊥AD.
，四边形ABCD为矩形，所以
=(x+1，y-4)，
所以C点的坐标为(0，5). ，
.
=(1，7)，
=(5，1)，设C是直线OP上的一点(其中O
=
.
设C点的坐标为(x，y)，则从而有又
=(-4，2)，|
即|=2
所以矩形ABCD的对角线的长度为26.(2015·惠州高一检测)已知为坐标原点).
=(2，1)，
(1)求使·取得最小值时的.
(2)对(1)中求出的点C，求cos∠ACB. 【解析】(1)因为点C是直线OP上的一点， 所以向量则所以
=所以
2
与共线，设=t(t∈R)，
=t(2，1)=(2t，t)， =-·
-=(1-2t，7-t)，
=(5-2t，1-t)，
=(1-2t)(5-2t)+(7-t)(1-t)
2
=5t-20t+12=5(t-2)-8. 所以当t=2时，(2)由(1)知所以所以|
·
取得最小值，此时
=(4，2).
=(4，2)，
=(1，-1)， |==-，.
·
=-3-5=-8.
=(-3，5)，|=
，|
所以cos∠ACB=